Архитектурная акустика/Интеграл Релея (версия Кулигина)

Архитектурная акустика\Интеграл Релея (версия Кулигина)

Модель распространения звука в помещении, в которой каждая поверхность представлена в виде системы плоских колеблющихся поршней. Каждый такой поршень при попадании на него звукового луча оказывается вторичным источником звука.

Является вариантом реализации модели расчета акустического поля, в котором, в отличие от исходной версии вся поверхность помещения разбивается на элементы $d\sigma$ малой площади. В модели анализируется влияние каждого имеющегося источника звука на каждый возможный элемент излучения $d\sigma$. Каждый источник $s$ оказывает влияние на каждый элемент $d\sigma$, если только $d\sigma$ не находится в тени источника $s$, и влияние этого источника на поверхность не падает ниже пренебрежимого уровня звука модели среды распространения. Если влияние действительно имеется, элемент $d\sigma$ сам становится источником отраженного звука. Направленность такого источника рассчитывается с помощью интеграла Релея:

$\varphi\left(\theta, \varphi, r\right) = \frac{1}{2\pi}\iint\limits_{\sigma}\frac{\partial\varphi_1}{\partial\stackrel{\to }{n}}\frac{e^{-i k r}}{r}d\sigma$

на сфере $r=0$, где:

• $\varphi(\theta, \varphi, r)$ - потенциал колебательной скорости в точке, заданной в сферической системе координат, в которой $\theta = 0, \varphi = 0, r = 1$ - единичный вектор сонаправленный главной оси источника.
• $\sigma$ - поверхность или ее часть, которая колеблется как поршень.
• $d\sigma$ - малый элемент поверхности в окрестности некоторой точки $(x, y)$, принадлежащей поверхности и заданной в системе координат поверхности, в которой аппликата сонаправлена главной оси источника.
• $\frac{\partial\varphi}{\partial\stackrel{\to}{n}}=v_n$ - проекция градиента потенциала колебательной скорости $\varphi$ на нормаль $\stackrel{\to}{n}$ к $\sigma$. Фактически является нормальной составляющей колебательной скорости источника
• $i = \sqrt{-1}$.
• $r'\left(\theta, \varphi, r\right)=\sqrt{\left(r\sin\varphi\cos\theta-x\right)^2 + \left(r\sin\varphi\sin\theta-y\right)^2+\left(r\cos\varphi\right)^2}$.

Алгоритм

1. Задаются полигоны всех поверхностей помещения.
2. Разбитие всех полигонов поверхностей помещения на элементы (источники) с некоторыми линейными размерами, которое зависит от частоты рассчитываемого тона.
3. Задаются контрольные плоскости вывода результата.
4. $SC' \gets SC$ - временное множество источников, для хранения первичных и вторичных источников SC'
5. Для всех источников $s\in SC'$ (цикл):
6. $SC'\gets SC'\setminus \left\{s'_{i}\right\}$
   1. Из каждого источника излучается луч во все остальные отражающие элементы $PC-1$при условии, что источник SC излучает только в пределах своего телесного угла $\Omega >2\pi$.
   2. Для каждого луча $r_{i}\in s$ (цикл):
      1. Если интенсивность луча $r_i$ меньше какого-либо порогового значения, то перейти на шаг 7.2, иначе:
         1. Каждый излученный луч проверяется на пересечение с другими полигонами, т.е. на наличие тени.
         2. Каждый излученный луч пересекается с контрольной плоскостью. Фиксируется характеристика в комплексном виде и записывается в буфер, связанный с точкой.
         3. Луч пересекает отражающий элемент, возбуждая колебания с определенной фазой в зависимости от того, с какой фазой на него упал луч. В формуле (1) имеем: $\frac{\partial\varphi}{\partial\stackrel{\to}{n}}=(grad \varphi_1,\stackrel{\to}{n})=-ike^{i(\omega t-\stackrel{\to}{k}\stackrel{\to}{r_1})}\cos \widehat{\stackrel{\to}{r_1},\stackrel{\to}{n}}$
         4. Каждый отражающий элемент становится источником $s'_i$ с определенными характеристиками (объемной скоростью колебаний), т.е. $SC' \gets SC' \cup\left\{s'_i\right\}$.

1. Конец цикла

Предусловия:

1. N - порядок источника, принимает значения от 1 для первичного источника и до бесконечности
2. SC = M.Множество источников();
3. PC = M.Множество отражающих элементов()
4. PlC = M.Множество контрольных точек() - множество плоскостей вывода результатов.
5. расстояние(точка1, точка2) - функция расстояния между двумя точками.

Течение алгоритма:

1. $SC' \gets SC$ - изменяемое множество всех источников.
2. Если SC' пусто.
   1. Завершение алгоритма.
3. Для всех источников $s\in SC'$
   1. $SC' \gets SC' \setminus s$
   2. Пусть множество лучей: RS = s.Излучаемый звук()
   3. Для всех лучей $r\in RS$
      1. Если r.Интенсивность() > M.Пренебрежимый уровень звука()
         1. $PlC' = \left\{pl_i\right\}\subset PlC: \exists pt = pl_i\cap r\land$расстояние(r.Позиция(), pt)$\leq$расстояние(r.Позиция(), r.Ближайшая поверхность(PC)$\cap$r) - множество плоскостей вывода результатов, с которыми существуют пересечения луча $r$, и которые не находятся в тени.
         2. Для всех плоскостей $pl\in PlC'$
            1. Точка пересечения $pt \gets pl\cap r$
            2. $I\gets$r.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), pt))
            3. Если $I >$M.Пренебрежимый уровень звука()
               1. pl.Зарегистрировать звук(pt, I, r.Частота())
         3. Если $\exists$f = r.Ближайшая поверхность(PC)
            1. Пусть $P\gets f\cap r$
            2. Если r.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), P)) > M.Пренебрежимый уровень звука()
               1. Пусть $f'$ - плоская круглая поверхность диаметром, равным длине волны звука, ассоциированного с лучом $r$ (см. r.Частота()), вокруг точки пересечения P.
               2. s' = Вторичный источник на основе интеграла Релея$(f\cap f', r, f \cap r)$
               3. $SC' \gets SC' \cup \left\{s'\right\}$ - дополнение множества SC' новым вторичным источником s'
4. Переход на шаг 2.

Граф параллельного выполнения алгоритма. Для краткости используются сокращенные записи методов сущностей архитектурной акустики: $I\left(r\right)\sim r$.Интенсивность(); $I\left(r, pt\right)\sim r$.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), pt)); $I_0\sim M$.Пренебрежимый уровень звука(); $\omega\left(r\right)\sim r$.Частота(); $pl.Reg\left(pt, I, \omega\right)\sim pl$.Зарегистрировать звук$\left(pt, I, \omega\right)$;

Свойства алгоритма

Пусть $S$ - множество первичных источников (см. свойство множество источников() среды распространения звука).

Пусть $R_s = \sum\limits_{i=1}^{|S|}|s_i.$Излучаемый звук()$|$ - суммарное количество лучей от всех первичных источников.

Тогда сложность: $O\left(R_s^{\frac{\max\limits_{i=1,N_s}\left(I(s_i)\right)}{I_0}}\right)$, где $I\left(s\right) = \max\limits_{\forall\omega\in B\left(s\right)}$(s.Интенсивность(0, 0, $\omega$)) - максимальное значение характеристики звука, излучаемого источником $s$ по частотам $B\left(s\right)$, на которых определена его АЧХ, $I_0$ - пренебрежимый уровень звука (свойство среды распространения).