Архитектурная акустика/Интеграл Релея (версия Кулигина)

Архитектурная акустика\Интеграл Релея (версия Кулигина)

Модель распространения звука в помещении, в которой каждая поверхность представлена в виде системы плоских колеблющихся поршней. Каждый такой поршень при попадании на него звукового луча оказывается вторичным источником звука.

Является вариантом реализации модели расчета акустического поля, в котором, в отличие от исходной версии вся поверхность помещения разбивается на элементы $d\sigma$ малой площади. В модели анализируется влияние каждого имеющегося источника звука на каждый возможный элемент излучения $d\sigma$. Каждый источник $s$ оказывает влияние на каждый элемент $d\sigma$, если только $d\sigma$ не находится в тени источника $s$, и влияние этого источника на поверхность не падает ниже пренебрежимого уровня звука модели среды распространения. Если влияние действительно имеется, элемент $d\sigma$ сам становится источником отраженного звука. Направленность такого источника рассчитывается с помощью интеграла Релея:

$\varphi\left(\theta, \varphi, r\right) = \frac{1}{2\pi}\iint\limits_{\sigma}\frac{\partial\varphi_1}{\partial\stackrel{\to }{n}}\frac{e^{-i k r}}{r}d\sigma$

на сфере $r=1$, где:

• $\varphi(\theta, \varphi, r)$ - потенциал колебательной скорости в точке, заданной в сферической системе координат, в которой $\theta = 0, \varphi = 0, r = 1$ - единичный вектор сонаправленный главной оси источника.
• $\sigma$ - поверхность или ее часть, которая колеблется как поршень.
• $d\sigma$ - малый элемент поверхности в окрестности некоторой точки $(x, y)$, принадлежащей поверхности и заданной в системе координат поверхности, в которой аппликата сонаправлена главной оси источника.
• $\frac{\partial\varphi}{\partial\stackrel{\to}{n}}=v_n$ - проекция градиента потенциала колебательной скорости $\varphi$ на нормаль $\stackrel{\to}{n}$ к $\sigma$. Фактически является нормальной составляющей колебательной скорости источника
• $i = \sqrt{-1}$.
• $r'\left(\theta, \varphi, r\right)=\sqrt{\left(r\sin\varphi\cos\theta-x\right)^2 + \left(r\sin\varphi\sin\theta-y\right)^2+\left(r\cos\varphi\right)^2}$.

Алгоритм

Предусловия:

1. $\beta$- коэффициент ослабления
2. N - порядок источника, принимает значения от 1 для первичного источника и до бесконечности
3. Пусть M - среда распространения звука
4. SC = M.Множество источников();
5. PC = M.Множество отражающих элементов()
6. PlC = M.Множество множество секущих плоскостей() - множество плоскостей вывода результатов.
7. расстояние(точка1, точка2) - функция расстояния между двумя точками.
8. Пусть $dx(\lambda)=\lambda\cdot c$, где $\lambda$ - длина волны, $c$ - входной параметр-коэффициент.

Течение алгоритма:

1. Задаются полигоны всех поверхностей помещения.
2. Разбитие всех полигонов поверхностей помещения на элементы (источники) с некоторыми линейными размерами, которое зависит от частоты рассчитываемого тона.
3. Задаются контрольные плоскости вывода результата.
4. $SC' \gets SC$ - временное множество источников, для хранения первичных и вторичных источников SC'
5. Для всех источников $s_j\in SC'$ (цикл):
   1. $SC' \gets SC' \setminus\left\{s_j\right\}$
   2. $s_j$ создает лучи во все отражающие элементы - источники следующего порядка.
   3. для всех k от 0 до $s_j$ . Ширина полосы частот() -1
      1. $\omega \gets s_j$.Частота(k)
   4. Для всех $Pl \in PlC$
      1. Для всех $\stackrel{\to}{P_t}\in \stackrel{\to}{Pl}$. Множество контрольных точек $\omega$
      2. $\stackrel{\to}{D_1}=\stackrel{\to}{P_t}-s_j$. Позиция()
      3. $I_0\gets s_j$.Интенсивность(азимут($\stackrel{\to}{D_1}$), зенит($\stackrel{\to}{D_1}$), $\omega$)
      4. $Pl$. Зарегистрировать звук $(\stackrel{\to}{P_t},I_0,\omega)$
   5. Пусть $F \gets PC$.множество поверхностей ($dx(\omega)$)
      1. Для всех $\Delta x \in F$
      2. $\stackrel{\to}{D}=\stackrel{\to}{\Delta x}-s_j$.Позиция()
      3. $I_0\gets s_j$.Интенсивность(азимут($\stackrel{\to}{D}$), зенит($\stackrel{\to}{D}$), $\omega$)
      4. Пусть $r_i$ - луч на основе $\stackrel{\to}{D},\omega,I_0,\beta$
      5. Если интенсивность луча $r_i$ меньше какого-либо порогового значения, то перейти на шаг 7.2, иначе:
         1. Каждый излученный луч проверяется на пересечение с другими полигонами, т.е. на наличие тени.
         2. Луч пересекает отражающий элемент, возбуждая колебания с определенной фазой в зависимости от того, с какой фазой на него упал луч. В формуле (1) имеем: $\frac{\partial\varphi}{\partial\stackrel{\to}{n}}=(grad \varphi_1,\stackrel{\to}{n})=-ike^{i(\omega t-\stackrel{\to}{k}\stackrel{\to}{r_1})}\cos \widehat{\stackrel{\to}{r_1},\stackrel{\to}{n}}$
         3. Каждый отражающий элемент становится источником $s'_i$ с определенными характеристиками (объемной скоростью колебаний), т.е. $SC' \gets SC' \cup\left\{s'_i\right\}$.

1. Конец цикла

Свойства алгоритма

Сложность

Оценим сложность алгоритма. Пусть $S$ - множество первичных источников (см. свойство множество источников() среды распространения звука). Шаг 3.2.2 Пусть $R_s = \sum\limits_{i=1}^{|S|}|s_i.$Излучаемый звук()$|$ - суммарное количество лучей от всех первичных источников.

Тогда сложность: $O\left(R_s^{\frac{\max\limits_{i=1,N_s}\left(I(s_i)\right)}{I_0}}\right)$, где $I\left(s\right) = \max\limits_{\forall\omega\in B\left(s\right)}$(s.Интенсивность(0, 0, $\omega$)) - максимальное значение характеристики звука, излучаемого источником $s$ по частотам $B\left(s\right)$, на которых определена его АЧХ, $I_0$ - пренебрежимый уровень звука (свойство среды распространения).

Возможности распараллеливания

Граф параллельного выполнения алгоритма.