Архитектурная акустика/Интеграл Релея

Архитектурная акустика\Интеграл Релея

Модель распространения звука в помещении, в которой каждая поверхность представлена в виде системы плоских колеблющихся поршней. Каждый такой поршень при попадании на него звукового луча оказывается вторичным источником звука.

Направленность такого источника рассчитывается с помощью интеграла Релея:

$\varphi\left(\theta, \varphi, r\right) = \frac{V_0 e^{i\cdot\left(\omega t+\varphi\right)}}{2\pi}\iint\limits_{S}{\frac{e^{-ikr'\left(\theta, \varphi, r\right)}}{r'\left(\theta, \varphi, r\right)}dS}$,

где:

• $\varphi(\theta, \varphi, r)$ - потенциал колебательной скорости в точке, заданной в сферической системе координат, в которой $\theta = 0, \varphi = 0, r = 1$ - единичный вектор сонаправленный главной оси источника.
• $S$ - поверхность или ее часть, которая которая колеблется как поршень.
• $dS$ - малый элемент поверхности в окрестности некоторой точки $(x, y)$, принадлежащей поверхности и заданной в системе координат поверхности, в которой аппликата сонаправлена главной оси источника.
• $V_0$ - амплитуда колебательной скорости.
• $\omega$ - круговая частота колебаний поршня.
• $t$ - время измерения направленности.
• $\varphi$ - начальная фаза колебаний.
• $i = \sqrt{-1}$.
• $r'\left(\theta, \varphi, r\right)=\sqrt{\left(r\sin\varphi\cos\theta-x\right)^2 + \left(r\sin\varphi\sin\theta-y\right)^2+\left(r\cos\varphi\right)^2}$.

Алгоритм

Предусловия:

1. M - Среда распространения звука;
2. SC = M.Множество источников();
3. PC = M.Множество отражающих элементов()
4. PlC = M.Множество контрольных точек() - множество плоскостей вывода результатов.
5. расстояние(точка1, точка2) - функция расстояния между двумя точками.

Течение алгоритма:

1. $SC' \gets SC$ - изменяемое множество всех источников.
2. Если SC' пусто.
   1. Завершение алгоритма.
3. Для всех источников $s\in SC'$
   1. $SC' \gets SC' \setminus s$
   2. Пусть множество лучей: RS = s.Излучаемый звук()
   3. Для всех лучей $r\in RS$
      1. Если r.Интенсивность() > M.Пренебрежимый уровень звука()
         1. $PlC' = \left\{pl_i\right\}\subset PlC: \exists pt = pl_i\cap r\land$расстояние(r.Позиция(), pt)$\leq$расстояние(r.Позиция(), r.Ближайшая поверхность(PC)$\cap$r) - множество плоскостей вывода результатов, с которыми существуют пересечения луча $r$, и которые не находятся в тени.
         2. Для всех плоскостей $pl\in PlC'$
            1. Точка пересечения $pt \gets pl\cap r$
            2. $I\gets$r.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), pt))
            3. Если $I >$M.Пренебрежимый уровень звука()
               1. pl.Зарегистрировать звук(pt, I, r.Частота())
         3. Если $\exists$f = r.Ближайшая поверхность(PC)
            1. Пусть $P\gets f\cap r$
            2. Если r.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), P)) > M.Пренебрежимый уровень звука()
               1. Пусть $f'$ - плоская круглая поверхность диаметром, равным длине волны звука, ассоциированного с лучом $r$ (см. r.Частота()), вокруг точки пересечения P.
               2. s' = Вторичный источник на основе интеграла Релея$(f\cap f', r, f \cap r)$
               3. $SC' \gets SC' \cup \left\{s'\right\}$ - дополнение множества SC' новым вторичным источником s'
4. Переход на шаг 2.

Граф параллельного выполнения алгоритма. Для краткости используются сокращенные записи методов сущностей архитектурной акустики: $I\left(r\right)\sim r$.Интенсивность(); $I\left(r, pt\right)\sim r$.Интенсивность(расстояние(r.Позиция(), pt)); $I_0\sim M$.Пренебрежимый уровень звука(); $\omega\left(r\right)\sim r$.Частота(); $pl.Reg\left(pt, I, \omega\right)\sim pl$.Зарегистрировать звук$\left(pt, I, \omega\right)$;

Свойства алгоритма

Пусть $S$ - множество первичных источников (см. свойство множество источников() среды распространения звука).

Пусть $R_s = \sum\limits_{i=1}^{|S|}|s_i.$Излучаемый звук()$|$ - суммарное количество лучей от всех первичных источников.

Тогда сложность: $N_{total} = 1 + \frac{N \cdot(1-(\tau N)^{n_{r}-1})}{1-\tau N} ,$ где

$n_r = \log_{\nu}\frac{I_0}{I}$ - число переотражений, $I_0$ - пороговое значение энергии, $I$ - начальное значение энергии,

$\nu=\frac{\sum_{\forall f\in F} S(f) \cdot \nu(f)}{\sum_{\forall f\in F} S(f)}$ - средний коэффициент поглощения,

$N=|W(s_i)|\cdot \sum_{\forall f\in F} |f|,$ (где $|W(s_i)|\sim s_i$ - ширина полосы частот(), $f$- множество отражающих элементов() ),

так как

$1 \to N \to N \cdot \tau N \to \cdots \to N \cdot (\tau N)^{n_r}$