Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм

Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом encompassing_aperture_t - $\Omega _{1}=\left\langle {\vec {c}}_{1},\alpha _{1}\right\rangle$ и $\Omega _{2}=\left\langle {\vec {c}}_{2},\alpha _{2}\right\rangle$, где ${\vec {c}}_{i}$ - вектор направления на центральную точку $i$-го сектора (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::central_point), а $\alpha _{i}$ - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::radius).

Сектор encompassing_aperture_t

В результате объединения создается новый сектор $\Omega _{12}=\left\langle {\vec {c}}_{12},\alpha _{12}\right\rangle =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$.

Вектора ${\vec {c}}_{i}$ могут быть либо нулевыми либо единичными. Сектор с нулевым вектором направления считается нейтральным по операции объединения, т.е. $\left\langle {\vec {0}},\alpha _{1}\right\rangle \cup \Omega =\Omega \cup \left\langle {\vec {0}},\alpha _{2}\right\rangle =\Omega$.

Далее рассматривается случай, в котором $\left|{\vec {c}}_{1}\right|=\left|{\vec {c}}_{2}\right|=1$.

Поскольку направленные отрезки ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ исходят из одной точки - центра сферы, оба отрезка принадлежат одной плоскости, причем эта плоскость является диаметральным сечением сферы. Поэтому задача поиска объединяющего сектора, то есть вектора ${\vec {c}}_{12}$ и ангулярного радиуса $\alpha _{12}$, становится двумерной.

Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$. Если ${\vec {c'}}_{1}\nparallel {\vec {c'}}_{2}$, то вектор ${\vec {c}}_{12}$, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$, если $\alpha _{12}<{\frac {\pi }{2}}$ и противоположен этой сумме, если $\alpha _{12}>{\frac {\pi }{2}}$.

Пусть далее $\cos \gamma ={\frac {{\vec {c}}_{1}\cdot {\vec {c}}_{2}}{\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot \left|{\vec {c}}_{2}\right|}}$, где $\gamma$ - угол между ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$.

Два особых случая:

$\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\Leftrightarrow \gamma +\alpha _{1}\leq \alpha _{2}$ и

$\Omega _{2}\subseteq \Omega _{1}\Leftrightarrow \gamma +\alpha _{2}\leq \alpha _{1}$.

Поэтому:

$\gamma +\alpha _{1}\leq \alpha _{2}\Rightarrow \Omega _{12}\equiv \Omega _{2}$, иначе

$\gamma +\alpha _{2}\leq \alpha _{1}\Rightarrow \Omega _{12}\equiv \Omega _{1}$.

Далее по тексту предполагается, что $\Omega _{1}\nsubseteq \Omega _{2}\land \Omega _{2}\nsubseteq \Omega _{1}$. Следовательно Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \gamma \neq 0} .

Существует три случая.

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\|\vec{c}_2} (первый случай).

Рассмотрим первый случай, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\|\vec{c}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma\equiv-1} ). Поскольку длины всех векторов равны единице, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2=-\vec{c}_1} , а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и ${\vec {c}}_{2}$ бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2} , также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать выбранные Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} ; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через ${\vec {c}}_{1}$.

Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_n} , перпендикулярный Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} .

В описываемой реализации

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_n=\left[\begin{matrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\equiv 0 \\ \frac{\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T}{\left|\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T\right|}\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\ne 0 \end{matrix}\right.} .

Тогда на плоскости, которой одновременно принадлежат Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , ${\vec {c'}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} , будет однозначно определен вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} , отстоящий на одинаковом угловом расстоянии от векторов Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} и, поэтому, параллельный вектору ${\vec {c}}_{12}$ центральной точки сектора-объединения.

Для нахождения вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} достаточно выразить его в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle} и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} имеет координаты

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \end{pmatrix}} ,

причем $\beta ={\frac {\pi -\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{2}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}$.

Тогда в мировых координатах

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \end{pmatrix} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \end{pmatrix}} .

Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \end{pmatrix}} .

Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12} = -\tau\vec{c''}_{12}} .

Отсюда

${\vec {c}}_{12}=-{\frac {{\vec {c'}}_{12}}{\left|{\vec {c'}}_{12}\right|}}={\frac {\tau {\vec {c''}}_{12}}{\left|-\tau {\vec {c''}}_{12}\right|}}={\frac {{\vec {c''}}_{12}}{\left|{\vec {c''}}_{12}\right|}}$,

а ангулярный радиус будет равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\pi - \beta = \frac{\pi + \alpha_1 + \alpha_2}{2}} .

Во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , однако Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\|\vec{c'}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi} ).

Вследствие того, что ${\vec {c'}}_{1}\|{\vec {c'}}_{2}$,

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<\alpha_1,\alpha_2<\frac{\pi}{2}} и

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<\alpha_1+\alpha_2<\pi} .

Действительно, если бы Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\equiv 0\Rightarrow\alpha_2=\pi-\alpha_1=\pi\Rightarrow\Omega_1\subset\Omega_2} , что противоречило бы ограничению Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1\nsubseteq\Omega_2} , которое обосновано выше.

Далее, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}\geq {\frac {\pi }{2}}\Rightarrow \pi -\gamma -\alpha _{2}\geq {\frac {\pi }{2}}\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}\geq \gamma +\alpha _{2}\Rightarrow \alpha _{1}\geq \gamma +\alpha _{2}\Rightarrow \Omega _{2}\subseteq \Omega _{1}} . Противоречие ограничению, приведенному выше.

Аналогично доказывается ограничение Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<\alpha_2<\frac{\pi}{2}} .

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\|\vec{c'}_2} (второй случай).

Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перпендикулярного Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} (и ${\vec {c'}}_{2}$), лежащего в плоскости Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} , имеющего острый угол одновременно с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} и нормализованного.

Поскольку вектора ${\vec {c}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , следующим образом.

Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , на вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перперндикулярный ${\vec {c'}}_{1}$ и образующий острый угол с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} . Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} и проведенного перпендикуляра, как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} . Такой вектор очевидно будет сонаправлен с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , а его длина будет равна

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left|{\vec {c'}}_{12}\right|=\left|{\vec {c}}_{1}\right|\sin \alpha _{1}=\sin \alpha _{1}} ;

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}} .

Обозначим как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}} соответственно проекции вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} на ${\vec {c}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} а равно координаты вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} . Из теоремы синусов следует, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}= \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\cos \alpha_2}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}= \frac{\cos \alpha_1}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}} .

Тогда в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} будет равен:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Пусть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \tau '={\frac {\sin \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{\sin \alpha _{1}}}} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12}=\tau'\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Таким образом, во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left|\tau'\vec{c''}_{12}\right|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left|\vec{c''}_{12}\right|}} , Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\frac{\pi}{2}} .