Распространение радиоволн ВЧ/Напряженность

Трехкомпонентный комплексный вектор ${\vec {\dot {E}}}={\begin{pmatrix}{\dot {E}}_{x}\\{\dot {E}}_{y}\\{\dot {E}}_{z}\end{pmatrix}},$ который задается волновым элементом, порождаемым источником $S$, в результате распространения и отражений в среде.

Вектор ${\vec {\dot {E}}}$ рассчитывается путем вычисления результирующих потерь при отражениях и распространении от источника следующим образом.

Модель распространения

Пусть $r_{0}$ - дальняя зона, расстояние, на котором для источника $S$ снята начальная напряженность ${\vec {{\dot {E}}_{0}}}$.

В результате распространения излученного элемента волны на расстояние $r_{1}$ напряженность поля падает в $r_{1}e^{ikr_{1}}$ раз, становясь равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$, где:

• $y_{1}\left(r_{1}\right)={\frac {1}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$ - скалярный коэффициент падения амплитуды напряженности при распространении волнового элемента в связи со сферическим расхождением волны,
• ${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число
  • ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''$
  • ${\dot {\mu }}=\mu '-i\mu ''$
  • ${\dot {k}}=k'-ik''$

Таким образом ${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-k''r_{1}}e^{-ik'r_{1}}$.

Здесь первая экспонента является коэффициентом поглощения среды на расстоянии $r_{1}$, а

$L=k''20\lg e$ - погонным затуханием среды [дБ/м]

В частности, при отсутствии инерционности поляризации и намагничивания $\alpha =0,~\beta =0$ :

$k'=k=\omega {\sqrt {\varepsilon \mu }},~k''={\frac {\sigma }{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$.

Тогда, в результате распространения волнового элемента на расстояние $r_{1}+r_{2}$ от источника в одной и той же изотропной среде, результирующая напряженность станет равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)$,

где $y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}}{r_{1}}}$, $y'_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{2}}}{r_{2}}}$ и $y\left(r_{1},r_{2}\right)=y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {2}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}e^{-ikr_{2}}}{r_{1}r_{2}}}={\frac {e^{-ik\left(r_{1}+r_{2}\right)}}{r_{1}+r_{2}}}$.

В более общем случае

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}\prod _{j=1}^{n}y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{\sum _{i=1}^{n}r_{i}}}e^{-i\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}r_{i}\right)}$,

где $y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)=\left({\frac {\prod _{j'=1}^{n}r_{j'}}{\sum _{j'=1}^{n}r_{j'}}}\right)^{\frac {1}{n}}{\frac {e^{-ik_{j}r_{j}}}{r_{j}}}$.

Модель отражения

Пусть электрическая напряженность волнового элемента, падающего на плоскую поверхность с нормалью ${\vec {n}}$, задается некоторым комплексным вектором ${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }$. Пусть эта поверхность является границей раздела двух сред.

• среды с четверкой параметров $\left\{{\dot {\varepsilon }}_{1},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{1},~{\dot {Z}}_{1}\right\}$, в которой распространяется падающая волна, и
• среды с четверкой параметров $\left\{{\dot {\varepsilon }}_{2},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{2},~{\dot {Z}}_{2}\right\}$, на границу которой падает волна.

Соответственно, $\varphi _{1}$ - угол падения (и отражения), а угол $\varphi _{2}$ - угол преломления.

Перпендикулярная поляризация

Параллельная поляризация

Поворот координатных осей

Здесь:

• ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon \cos \alpha -i({\frac {\sigma }{\omega }}+\varepsilon \sin \alpha )$ - комплексная диэлектрическая проницаемость, где
  • $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды,
  • $\sigma$ - проводимость среды,
  • $\omega$ - круговая частота волны,
  • $\alpha$ - угол диэлектрических потерь;
• ${\dot {\mu }}=\mu \cos \beta -i\mu \sin \beta$ - комплексная магнитная проницаемость, где
  • $\mu$ - магнитная проницаемость среды,
  • $\beta$ - угол магнитных потерь;
• ${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число;
• ${\dot {Z}}={\sqrt {\frac {\dot {\mu }}{\dot {\varepsilon }}}}$ - комплексное волновое сопротивление;
• $n_{1}\sin \varphi _{1}=n_{2}\sin \varphi _{2}$ согласно закону Снеллиуса, причем
  • $n={\frac {k}{\omega }}={\sqrt {\mu \varepsilon }}$ - коэффициент преломления соответствующей среды.

Тогда коэффициенты отражения для перпендикулярной и параллельной поляризации имеют следующий вид (формулы Френеля) соответственно:

$\rho _{\mathrm {s} }={\frac {Z_{2}\cos \varphi _{1}-Z_{1}\cos \varphi _{2}}{Z_{2}\cos \varphi _{2}+Z_{1}\cos \varphi _{1}}},$

$\rho _{\mathrm {p} }={\frac {Z_{2}\cos \varphi _{2}-Z_{1}\cos \varphi _{1}}{Z_{2}\cos \varphi _{1}+Z_{1}\cos \varphi _{2}}},$

Пусть ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }=T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }$ - вектор электрической напряженности падающей на поверхность волны. Вектор ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }$ выражен в базисе $\langle {\vec {e_{0}}},{\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}}\rangle$, заданном так, что ${\vec {e_{0}}}$ определяет направление, перпендикулярное плоскости падения волны, т.е. плоскости, которой принадлежат нормаль ${\vec {n}}$ к отражающей поверхности и наравляющий вектор ${\vec {v}}$ луча; вектор ${\vec {e_{1}}}$ задает направление, перпендикулярное ${\vec {e_{0}}}$ и одновременно перпендикулярное ${\vec {v}}$; а вектор ${\vec {e_{2}}}$ сонаправлен ${\vec {v}}$. Тогда выраженный в таком базисе вектор электрической напряженности, ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }$, будет иметь три компоненты, первая из которых задает перпендикулярно поляризованную часть напряженности ${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }$, вторая - параллельно поляризованную часть, а третья компонента вектора ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }$ будет равна нулю как компонента, параллельная вектору Пойнтинга. Поэтому для расчета электрической напряженности отраженной волны достаточно умножить первую компоненту ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }$ на $\rho _{\mathrm {s} }$, вторую компоненту - на $\rho _{\mathrm {p} }$, а третью - проигнорировать (или умножить имеющийся в ней ноль на произвольное значение).

Тогда ${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}{\vec {e_{0}}}&{\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{2}}}\end{bmatrix}}{\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }$, поэтому $T_{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}{\vec {e_{0}}}&{\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}$.

При этом вектора базиса можно расчитать, как указано выше, с помощью векторного произведения:

${\vec {e_{0}}}={\vec {v}}\times {\vec {n}}$;

${\vec {e_{1}}}={\vec {v}}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {n}}\right)$;

${\vec {e_{2}}}={\vec {v}}$.

Как указано выше, базис $\langle {\vec {e_{0}}},{\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}}\rangle$ ортогонален, поэтому матрица $T_{\mathrm {inc} }$ также является ортогональной, и поэтому $T_{\mathrm {inc} }^{-1}=T_{\mathrm {inc} }^{T}$.

Тогда вектор напряженности отраженной волны, в мировых координатах, равен

${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {refl} }=T_{\mathrm {inc} }^{-1}T_{\mathrm {refl} }{\begin{bmatrix}\rho _{\mathrm {s} }&0&0\\0&\rho _{\mathrm {p} }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }=T_{\mathrm {inc} }^{T}T_{\mathrm {refl} }{\begin{bmatrix}\rho _{\mathrm {s} }&0&0\\0&\rho _{\mathrm {p} }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }=Y_{\mathrm {refl} }{\vec {E}}_{\mathrm {inc} }$,

где

$T_{\mathrm {refl} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi -2\varphi _{1})&\sin(\pi -2\varphi _{1})\\0&-\sin(\pi -2\varphi _{1})&\cos(\pi -2\varphi _{1})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\cos 2\varphi _{1}&\sin 2\varphi _{1}\\0&-\sin 2\varphi _{1}&-\cos 2\varphi _{1}\end{bmatrix}}$ - матрица поворота вектора напряженности на угол $2\varphi _{1}$ через нормаль вокруг ${\vec {e_{0}}}$;

$T_{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\cos \alpha _{z}&-\sin \alpha _{z}&0\\\sin \alpha _{z}&\cos \alpha _{z}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha _{x}&-\sin \alpha _{x}\\0&\sin \alpha _{x}&\cos \alpha _{x}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha _{y}&0&\sin \alpha _{y}\\0&1&0\\-\sin \alpha _{y}&0&\cos \alpha _{y}\end{bmatrix}}$;

$\sin \alpha _{z}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{\vec {K}}_{y}}{\left|{\vec {K}}\right|}}\iff {\vec {v}}\nparallel {\vec {n}}\\0\iff {\vec {v}}\parallel {\vec {n}}\end{matrix}}\right.$, $\sin \alpha _{x}=-{\frac {{\vec {v}}_{y}}{\left|{\vec {v}}\right|}}$, $\sin \alpha _{y}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{\vec {v}}_{x}}{\left|{\vec {v}}_{xz}\right|}}\iff \left|{\vec {v}}_{xz}\right|\neq 0\\0\iff \left|{\vec {v}}_{xz}\right|=0\end{matrix}}\right.$.

Таким образом, напряженность электрического поля волнового элемента в результате его $m$ отражений и $m+1$ прохождений в (различных изотропных) средах рассчитывается по формуле

${\vec {E}}=y_{m+1}\left(\prod _{j=1}^{m}Y_{j}y_{j}\right){\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot \prod _{j=1}^{m+1}y_{j}\cdot {\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot {\frac {e^{-i\sum _{j=1}^{m+1}k_{j}r_{j}}}{\sum _{j=1}^{m+1}r_{j}}}$.

Метод реализации

Напряженность поля - реализуется трехкомпонентным комплексным вектором ${\vec {\dot {E}}}={\begin{pmatrix}{\dot {E}}_{x}&{\dot {E}}_{y}&{\dot {E}}_{z}\end{pmatrix}}^{T}$.

Состояние объекта, реализующего волновой элемент, задается:

• ${\vec {\varphi }}_{0}={\vec {\dot {E}}}_{0}r_{0}$, где $r_{0}$ - расстояние в дальней зоне источника, на котором снято значение напряженности ${\vec {\dot {E}}}_{0}$первичного источника;
• $\omega$ - круговая частота волнового элемента;
• $r_{\sum }=\sum _{j=0}^{m}r_{j}$ - расстояние, пройденное в общем волновым элементом от первичного источника до его текущего расположения;
• $\varphi _{\sum }=\sum _{j=0}^{m}k_{j}r_{j}$ - фазовый сдвиг, которому подвергся волновой элемент в результате прохождения им расстояния $r_{\sum }$;
• $Y_{\prod }=\prod _{j=1}^{n}Y_{j}$ - матрица, реализующая отражение вектора напряженности.

Тогда напряженность волнового элемента после всех распространений и отражений будет

$E=Y_{\prod }{\frac {e^{-i\varphi _{\sum }}}{r_{\sum }}}$.

Методы

• Изменить по пробегу(Пробег, Комплексное волновое число)
• Изменить по отражению(КДП_1*, КМП_1**, КДП_2, КМП_2, Вектор(Направление луча), Вектор(Нормаль грани))===

* - комплексная диэлектрическая проницаемость, ** - комплексная магнитная проницаемость.