Распространение радиоволн ВЧ/Напряженность

Трехкомпонентный комплексный вектор ${\vec {\dot {E}}}={\begin{pmatrix}{\dot {E}}_{x}\\{\dot {E}}_{y}\\{\dot {E}}_{z}\end{pmatrix}},$ который задается волновым элементом, порождаемым источником $S$, в результате распространения и отражений в среде.

Вектор ${\vec {\dot {E}}}$ рассчитывается путем вычисления результирующих потерь при отражениях и распространении от источника следующим образом.

Модель распространения

Пусть $r_{0}$ - дальняя зона, расстояние, на котором для источника $S$ снята начальная напряженность ${\vec {{\dot {E}}_{0}}}$.

В результате распространения излученного элемента волны на расстояние $r_{1}$ напряженность поля падает в $r_{1}e^{ikr_{1}}$ раз, становясь равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$, где:

• $y_{1}\left(r_{1}\right)={\frac {1}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$ - скалярный коэффициент падения амплитуды напряженности при распространении волнового элемента в связи со сферическим расхождением волны,
• ${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число
  • ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''$
  • ${\dot {\mu }}=\mu '-i\mu ''$
  • ${\dot {k}}=k'-ik''$

Таким образом ${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-k''r_{1}}e^{-ik'r_{1}}$.

Здесь первая экспонента является коэффициентом поглощения среды на расстоянии $r_{1}$, а

$L=k''20\lg e$ - погонным затуханием среды [дБ/м]

В частности, при отсутствии инерционности поляризации и намагничивания $\alpha =0,~\beta =0$ :

$k'=k=\omega {\sqrt {\varepsilon \mu }},~k''={\frac {\sigma }{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$.

Тогда, в результате распространения волнового элемента на расстояние $r_{1}+r_{2}$ от источника в одной и той же изотропной среде, результирующая напряженность станет равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)$,

где $y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}}{r_{1}}}$, $y'_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{2}}}{r_{2}}}$ и $y\left(r_{1},r_{2}\right)=y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {2}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}e^{-ikr_{2}}}{r_{1}r_{2}}}={\frac {e^{-ik\left(r_{1}+r_{2}\right)}}{r_{1}+r_{2}}}$.

В более общем случае

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}\prod _{j=1}^{n}y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{\sum _{i=1}^{n}r_{i}}}e^{-i\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}r_{i}\right)}$,

где $y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)=\left({\frac {\prod _{j'=1}^{n}r_{j'}}{\sum _{j'=1}^{n}r_{j'}}}\right)^{\frac {1}{n}}{\frac {e^{-ik_{j}r_{j}}}{r_{j}}}$.

Модель отражения

Пусть электрическая напряженность волнового элемента, падающего на плоскую поверхность с нормалью Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{n}} , задается некоторым комплексным вектором Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\dot E}_\mathrm{inc}} . Пусть эта поверхность является границей раздела двух сред.

• среды с четверкой параметров Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left \{ \dot \varepsilon_1,~\dot \mu_1,~\dot k_1,~\dot Z_1 \right \}} , в которой распространяется падающая волна, и
• среды с четверкой параметров Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left \{ \dot \varepsilon_2,~\dot \mu_1,~\dot k_2,~\dot Z_2 \right \}} , на границу которой падает волна.

Соответственно, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_1} - угол падения (и отражения), а угол Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_2} - угол преломления.

Перпендикулярная поляризация

Параллельная поляризация

Поворот координатных осей

Здесь:

• ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon \cos \alpha -i({\frac {\sigma }{\omega }}+\varepsilon \sin \alpha )$ - комплексная диэлектрическая проницаемость, где
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} - диэлектрическая проницаемость среды,
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): \sigma - проводимость среды,
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): \omega - круговая частота волны,
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha - угол диэлектрических потерь;
• ${\dot {\mu }}=\mu \cos \beta -i\mu \sin \beta$ - комплексная магнитная проницаемость, где
  • Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} - магнитная проницаемость среды,
  • $\beta$ - угол магнитных потерь;
• Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot k = \omega \sqrt{\dot \varepsilon \dot \mu}} - комплексное волновое число;
• ${\dot {Z}}={\sqrt {\frac {\dot {\mu }}{\dot {\varepsilon }}}}$ - комплексное волновое сопротивление;
• Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1\sin\varphi_1=n_2\sin\varphi_2} согласно закону Снеллиуса, причем
  • $n={\frac {k}{\omega }}={\sqrt {\mu \varepsilon }}$ - коэффициент преломления соответствующей среды.

Тогда коэффициенты отражения для перпендикулярной и параллельной поляризации имеют следующий вид (формулы Френеля) соответственно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho_\mathrm{s} = \frac{Z_2 \cos \varphi_1 - Z_1 \cos \varphi_2}{Z_2 \cos \varphi_2 + Z_1 \cos \varphi_1}, }

$\rho _{\mathrm {p} }={\frac {Z_{2}\cos \varphi _{2}-Z_{1}\cos \varphi _{1}}{Z_{2}\cos \varphi _{1}+Z_{1}\cos \varphi _{2}}},$

Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\dot E'}_\mathrm{inc} = T_\mathrm{inc}\vec{\dot E}_\mathrm{inc}} - вектор электрической напряженности падающей на поверхность волны, где $T_{\mathrm {inc} }$ - соответствующая матрица поворота, выраженный в системе координат такой, что ось абсцисс совпадает по направлению с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{K}=\vec{v}\times\vec{n}} - векторным произведением направляющего вектора луча ${\vec {v}}$ и нормали Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{n}} поверхности, а ось аппликат - с ${\vec {v}}$.

Тогда вектор напряженности отраженной волны, в мировых координатах, равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\dot E}_\mathrm{refl}=T_\mathrm{inc}^{-1}T_\mathrm{refl}\begin{bmatrix} \rho_\mathrm{s} & 0 & 0 \\ 0 & \rho_\mathrm{p} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} T_\mathrm{inc}\vec{\dot E}_\mathrm{inc}=T_\mathrm{inc}^{T}T_\mathrm{refl}\begin{bmatrix} \rho_\mathrm{s} & 0 & 0 \\ 0 & \rho_\mathrm{p} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} T_\mathrm{inc}\vec{\dot E}_\mathrm{inc} = Y_\mathrm{refl}\vec{E}_\mathrm{inc}} ,

где

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle T_{\mathrm {refl} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi -2\varphi _{1})&\sin(\pi -2\varphi _{1})\\0&-\sin(\pi -2\varphi _{1})&\cos(\pi -2\varphi _{1})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\cos 2\varphi _{1}&\sin 2\varphi _{1}\\0&-\sin 2\varphi _{1}&-\cos 2\varphi _{1}\end{bmatrix}}} - матрица поворота вектора напряженности на угол Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\varphi_1} через нормаль вокруг Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {K}}} ;

$T_{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\cos \alpha _{z}&-\sin \alpha _{z}&0\\\sin \alpha _{z}&\cos \alpha _{z}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha _{x}&-\sin \alpha _{x}\\0&\sin \alpha _{x}&\cos \alpha _{x}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha _{y}&0&\sin \alpha _{y}\\0&1&0\\-\sin \alpha _{y}&0&\cos \alpha _{y}\end{bmatrix}}$;

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha_z=\left[\begin{matrix} \frac{\vec{K}_y}{\left|\vec{K}\right|} \iff \vec{v}\nparallel\vec{n} \\ 0 \iff \vec{v}\parallel \vec{n} \end{matrix} \right. } , $\sin \alpha _{x}=-{\frac {{\vec {v}}_{y}}{\left|{\vec {v}}\right|}}$, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha_y=\left[\begin{matrix} \frac{\vec{v}_x}{\left|\vec{v}_{xz}\right|} \iff \left|\vec{v}_{xz}\right| \ne 0 \\ 0 \iff \left|\vec{v}_{xz}\right| = 0 \end{matrix} \right. } .

Таким образом, напряженность электрического поля волнового элемента в результате его Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle m} отражений и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m + 1} прохождений в (различных изотропных) средах рассчитывается по формуле

${\vec {E}}=y_{m+1}\left(\prod _{j=1}^{m}Y_{j}y_{j}\right){\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot \prod _{j=1}^{m+1}y_{j}\cdot {\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot {\frac {e^{-i\sum _{j=1}^{m+1}k_{j}r_{j}}}{\sum _{j=1}^{m+1}r_{j}}}$.

Метод реализации

Напряженность поля - реализуется трехкомпонентным комплексным вектором Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\dot E}=\begin{pmatrix}\dot E_x & \dot E_y & \dot E_z\end{pmatrix}^T} .

Состояние объекта, реализующего волновой элемент, задается:

• Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {\varphi }}_{0}={\vec {\dot {E}}}_{0}r_{0}} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_0} - расстояние в дальней зоне источника, на котором снято значение напряженности Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {\dot {E}}}_{0}} первичного источника;
• Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): \omega - круговая частота волнового элемента;
• Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle r_{\sum }=\sum _{j=0}^{m}r_{j}} - расстояние, пройденное в общем волновым элементом от первичного источника до его текущего расположения;
• Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_{\sum} = \sum_{j=0}^m k_j r_j} - фазовый сдвиг, которому подвергся волновой элемент в результате прохождения им расстояния Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle r_{\sum }} ;
• Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_{\prod}=\prod_{j=1}^n Y_j} - матрица, реализующая отражение вектора напряженности.

Тогда напряженность волнового элемента после всех распространений и отражений будет

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle E=Y_{\prod }{\frac {e^{-i\varphi _{\sum }}}{r_{\sum }}}} .

Методы

• Изменить по пробегу(Пробег, Комплексное волновое число)
• Изменить по отражению(КДП_1*, КМП_1**, КДП_2, КМП_2, Вектор(Направление луча), Вектор(Нормаль грани))===

* - комплексная диэлектрическая проницаемость, ** - комплексная магнитная проницаемость.