Распространение радиоволн ВЧ/Напряженность

Трехкомпонентный комплексный вектор ${\vec {\dot {E}}}={\begin{pmatrix}{\dot {E}}_{x}\\{\dot {E}}_{y}\\{\dot {E}}_{z}\end{pmatrix}},$ который задается волновым элементом, порождаемым источником $S$, в результате распространения и отражений в среде.

Вектор ${\vec {\dot {E}}}$ рассчитывается путем вычисления результирующих потерь при отражениях и распространении от источника следующим образом.

Модель распространения

Пусть $r_{0}$ - дальняя зона, расстояние, на котором для источника $S$ снята начальная напряженность ${\vec {{\dot {E}}_{0}}}$.

В результате распространения излученного элемента волны на расстояние $r_{1}$ напряженность поля падает в $r_{1}e^{ikr_{1}}$ раз, становясь равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$, где:

• $y_{1}\left(r_{1}\right)={\frac {1}{r_{1}}}e^{-ikr_{1}}$ - скалярный коэффициент падения амплитуды напряженности при распространении волнового элемента в связи со сферическим расхождением волны,
• ${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число
  • ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''$
  • ${\dot {\mu }}=\mu '-i\mu ''$
  • ${\dot {k}}=k'-ik''$

Таким образом ${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{-k''r_{1}}e^{-ik'r_{1}}$.

Здесь первая экспонента является коэффициентом поглощения среды на расстоянии $r_{1}$, а

$L=k''20\lg e$ - погонным затуханием среды [дБ/м]

В частности, при отсутствии инерционности поляризации и намагничивания $\alpha =0,~\beta =0$ :

$k'=k=\omega {\sqrt {\varepsilon \mu }},~k''={\frac {\sigma }{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$.

Тогда, в результате распространения волнового элемента на расстояние $r_{1}+r_{2}$ от источника в одной и той же изотропной среде, результирующая напряженность станет равной

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},r_{2}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)$,

где $y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}}{r_{1}}}$, $y'_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-ikr_{2}}}{r_{2}}}$ и $y\left(r_{1},r_{2}\right)=y_{1}\left(r_{1},r_{2}\right)y_{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left({\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)^{\frac {2}{2}}{\frac {e^{-ikr_{1}}e^{-ikr_{2}}}{r_{1}r_{2}}}={\frac {e^{-ik\left(r_{1}+r_{2}\right)}}{r_{1}+r_{2}}}$.

В более общем случае

${\vec {\dot {E}}}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}y\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}r_{0}\prod _{j=1}^{n}y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)={\vec {{\dot {E}}_{0}}}{\frac {r_{0}}{\sum _{i=1}^{n}r_{i}}}e^{-i\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}r_{i}\right)}$,

где $y_{j}\left(r_{1},\dots ,r_{n}\right)=\left({\frac {\prod _{j'=1}^{n}r_{j'}}{\sum _{j'=1}^{n}r_{j'}}}\right)^{\frac {1}{n}}{\frac {e^{-ik_{j}r_{j}}}{r_{j}}}$.

Модель отражения

Пусть электрическая напряженность волнового элемента, падающего на плоскую поверхность с нормалью ${\vec {n}}$, задается некоторым комплексным вектором ${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }$. Пусть эта поверхность является границей раздела двух сред.

• среды с четверкой параметров $\left\{{\dot {\varepsilon }}_{1},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{1},~{\dot {Z}}_{1}\right\}$, в которой распространяется падающая волна, и
• среды с четверкой параметров $\left\{{\dot {\varepsilon }}_{2},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{2},~{\dot {Z}}_{2}\right\}$, на границу которой падает волна.

Соответственно, $\varphi _{1}$ - угол падения (и отражения), а угол $\varphi _{2}$ - угол преломления.

Перпендикулярная поляризация

Параллельная поляризация

Поворот координатных осей

Здесь:

• ${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon \cos \alpha -i({\frac {\sigma }{\omega }}+\varepsilon \sin \alpha )$ - комплексная диэлектрическая проницаемость, где
  • $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды,
  • $\sigma$ - проводимость среды,
  • $\omega$ - круговая частота волны,
  • $\alpha$ - угол диэлектрических потерь;
• ${\dot {\mu }}=\mu \cos \beta -i\mu \sin \beta$ - комплексная магнитная проницаемость, где
  • $\mu$ - магнитная проницаемость среды,
  • $\beta$ - угол магнитных потерь;
• ${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число;
• ${\dot {Z}}={\sqrt {\frac {\dot {\mu }}{\dot {\varepsilon }}}}$ - комплексное волновое сопротивление;
• $n_{1}\sin \varphi _{1}=n_{2}\sin \varphi _{2}$ согласно закону Снеллиуса, причем
  • $n={\frac {k}{\omega }}={\sqrt {\mu \varepsilon }}$ - коэффициент преломления соответствующей среды.

Тогда коэффициенты отражения для перпендикулярной и параллельной поляризации имеют следующий вид (формулы Френеля) соответственно:

$\rho _{\mathrm {s} }={\frac {Z_{2}\cos \varphi _{1}-Z_{1}\cos \varphi _{2}}{Z_{2}\cos \varphi _{2}+Z_{1}\cos \varphi _{1}}},$

$\rho _{\mathrm {p} }={\frac {Z_{2}\cos \varphi _{2}-Z_{1}\cos \varphi _{1}}{Z_{2}\cos \varphi _{1}+Z_{1}\cos \varphi _{2}}},$

Пусть ${\vec {{\dot {E}}'}}_{\mathrm {inc} }=T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }$ - вектор электрической напряженности падающей на поверхность волны, где $T_{\mathrm {inc} }$ - соответствующая матрица поворота, выраженный в системе координат такой, что ось абсцисс совпадает по направлению с ${\vec {K}}={\vec {v}}\times {\vec {n}}$ - векторным произведением направляющего вектора луча ${\vec {v}}$ и нормали ${\vec {n}}$ поверхности, а ось аппликат - с ${\vec {v}}$.

Тогда вектор напряженности отраженной волны, в мировых координатах, равен

${\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {refl} }=T_{\mathrm {inc} }^{-1}{\begin{bmatrix}\rho _{\mathrm {s} }&0&0\\0&\rho _{\mathrm {p} }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }=T_{\mathrm {inc} }^{T}{\begin{bmatrix}\rho _{\mathrm {s} }&0&0\\0&\rho _{\mathrm {p} }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}T_{\mathrm {inc} }{\vec {\dot {E}}}_{\mathrm {inc} }=Y_{\mathrm {refl} }{\vec {E}}_{\mathrm {inc} }$,

где

$T_{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\cos \alpha _{z}&-\sin \alpha _{z}&0\\\sin \alpha _{z}&\cos \alpha _{z}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha _{x}&-\sin \alpha _{x}\\0&\sin \alpha _{x}&\cos \alpha _{x}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha _{y}&0&\sin \alpha _{y}\\0&1&0\\-\sin \alpha _{y}&0&\cos \alpha _{y}\end{bmatrix}}$;

$\sin \alpha _{z}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{\vec {K}}_{y}}{\left|{\vec {K}}\right|}}\iff {\vec {v}}\nparallel {\vec {n}}\\0\iff {\vec {v}}\parallel {\vec {n}}\end{matrix}}\right.$, $\sin \alpha _{x}=-{\frac {{\vec {v}}_{y}}{\left|{\vec {v}}\right|}}$, $\sin \alpha _{y}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{\vec {v}}_{x}}{\left|{\vec {v}}_{xz}\right|}}\iff \left|{\vec {v}}_{xz}\right|\neq 0\\0\iff \left|{\vec {v}}_{xz}\right|=0\end{matrix}}\right.$.

Таким образом, напряженность электрического поля волнового элемента в результате его $m$ отражений и $m+1$ прохождений в (различных изотропных) средах рассчитывается по формуле

${\vec {E}}=y_{m+1}\left(\prod _{j=1}^{m}Y_{j}y_{j}\right){\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot \prod _{j=1}^{m+1}y_{j}\cdot {\vec {E}}_{0}r_{0}=\prod _{j=1}^{m}Y_{j}\cdot {\frac {e^{-i\sum _{j=1}^{m+1}k_{j}r_{j}}}{\sum _{j=1}^{m+1}r_{j}}}$.

Функции

Изменить по пробегу(Напряженность, Пробег, Комплексное волновое число)

При распространении радиоволны в свободном пространстве происходит изменение ее фазы и амплитуды. Амплитуда уменьшается вследствии сферической расходимости волны, а также при распространении в поглощающих средах - вследствии поглощения в среде.

${\dot {E}}={\dot {E}}_{0}{\frac {e^{-i{\dot {k}}r}}{r}}$, где

${\dot {E}}_{0}$ - напряженность в начальной точке

$r$ - пройденное расстояние

${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число

${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''$

${\dot {\mu }}=\mu '-i\mu ''$

${\dot {k}}=k'-ik''$

${\dot {E}}={\dot {E}}_{0}{\frac {e^{-{\dot {k}}''r}e^{-i{\dot {k}}'r}}{r}}$

Как видно из формулы первая экспонента является коэффициентом поглощения среды на расстоянии r, а

$L=k''20\lg e$ - погонным затуханием среды [дБ/м]

В частности, при отсутствии инерционности поляризации и намагничивания $\alpha =0,~\beta =0$ :

$k'=k=\omega {\sqrt {\varepsilon \mu }},~k''={\frac {\sigma }{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$

На вход функции принимается трехкомпонентный комплексный вектор напряженности, расстояние пробега волны и комплексное волновое число. На выходе получаем трехкомпонентный комплексный вектор напряженности, прошедший заданное расстояние.

1. $E\leftarrow$ Напряженность
2. $R\leftarrow$ Пробег
3. $k\leftarrow$ Комплексное волновое число
4. $E\leftarrow E{\frac {e^{-ikR}}{R}}$

Изменить по отражению(Напряженность, КДП_1*, КМП_1**, КДП_2, КМП_2, Угол, Вектор(Направление луча), Вектор(Нормаль грани))

* - комплексная диэлектрическая проницаемость, ** - комплексная магнитная проницаемость.

Перпендикулярная поляризация

Параллельная поляризация

Поворот координатных осей

Пусть имеется граница раздела двух сред:

$\left\{{\dot {\varepsilon }}_{1},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{1},~{\dot {W}}_{1}\right\},~z<0$

$\left\{{\dot {\varepsilon }}_{2},~{\dot {\mu }}_{1},~{\dot {k}}_{2},~{\dot {W}}_{2}\right\},~z>0$

${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon -i{\frac {\sigma }{\omega }}$ - комплексная диэлектрическая проницаемость, где

$\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды,

$\sigma$ - проводимость среды

$\omega$ - круговая частота волны

$\mu$ - магнитная проницаемость

При учете инерционности поляризации и намагничивания вводятся следующие комплексные проницаемости:

${\dot {\varepsilon }}=\varepsilon \cos \alpha -i({\frac {\sigma }{\omega }}+\varepsilon \sin \alpha )$

${\dot {\mu }}=\mu \cos \beta -i\mu \sin \beta$ , где

$\alpha$ - угол диэлектрических потерь

$\beta$ - угол магнитных потерь

${\dot {k}}=\omega {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}{\dot {\mu }}}}$ - комплексное волновое число

${\dot {W}}={\sqrt {\frac {\dot {\mu }}{\dot {\varepsilon }}}}$ - комплексное волновое сопротивление

Коэффициенты отражения для перпендикулярной и параллельной поляризации имеют следующий вид (формулы Френеля):

${\dot {\rho }}_{\bot }={\frac {{\dot {W}}_{2}\cos \varphi -{\dot {W}}_{1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {k}}_{1}^{2}}{{\dot {k}}_{2}^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}{{\dot {W}}_{2}\cos \varphi +{\dot {W}}_{1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {k}}_{1}^{2}}{{\dot {k}}_{2}^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}}$

${\dot {\rho }}_{\|}={\frac {{\dot {W}}_{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {k}}_{1}^{2}}{{\dot {k}}_{2}^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}-{\dot {W}}_{1}\cos \varphi }{{\dot {W}}_{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {k}}_{1}^{2}}{{\dot {k}}_{2}^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}+{\dot {W}}_{1}\cos \varphi }}$, где

$\varphi$ - угол падения

Таким образом отраженная волна имеет вид ${\vec {{\dot {E}}^{-}}}={\vec {{\dot {E}}_{\bot }^{-}}}+{\vec {{\dot {E}}_{\|}^{-}}}={\dot {\rho }}_{\bot }{\vec {{\dot {E}}_{\bot }^{0}}}+{\dot {\rho }}_{\|}{\vec {{\dot {E}}_{\|}^{0}}}$

Т.к. напряженность поля дана в виде трехкомпонентного вектора относительно глобальной системы координат, необходимо найти параллельную и перпендикулярную составляющие соответственно данной грани и падающему лучу. Для этого составим матрицы поворота координатных осей таким образом, чтобы ось z совпала с направляющим вектором луча, а ось x с вектором векторного произведения направляющего вектора луча и вектора нормали грани. В результате в новых координатах $E_{x}=E_{\bot },~E_{y}=E_{\|},~E_{z}=0$.

На вход функции подается трехкомпонентный комплексный вектор напряженности, комплексные диэлектрические и магнитные проницаемости обоих сред, причем первыми даются характеристики среды из которой пришел луч. Также на вход функции поступает угол падения, направляющий вектор луча и вектор нормали грани. На выходе получаем трехкомпонентный вектор отраженной напряженности в глобальных координатах.

1. $V\leftarrow$ Вектор(Направление луча)
2. $N\leftarrow$ Вектор(Нормаль грани)
3. $E\leftarrow$ Напряженность
4. $\varphi \leftarrow$ Угол
5. $\varepsilon _{1}\leftarrow$ КДП_1
6. $\varepsilon _{2}\leftarrow$ КДП_2
7. $\mu _{1}\leftarrow$ КМП_1
8. $\mu _{2}\leftarrow$ КМП_2
9. $K\leftarrow N\times V$
10. $E\leftarrow {\begin{bmatrix}E(1)&E(2)&E(3)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {V(3)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}&0&{\frac {V(1)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}\\0&1&0\\-{\frac {V(1)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}&0&{\frac {V(3)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}&{\frac {V(2)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}\\0&-{\frac {V(2)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}&{\frac {\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {K(1)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&-{\frac {K(2)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&0\\{\frac {K(2)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&{\frac {K(1)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
11. $E(1)\leftarrow {\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\varepsilon _{2}}}}\cos \varphi -{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\varepsilon _{1}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\varepsilon _{2}}}}\cos \varphi +{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\varepsilon _{1}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}}E(1)$
12. $E(2)\leftarrow {\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\varepsilon _{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\sin ^{2}\varphi }}-{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\varepsilon _{1}}}}\cos \varphi }{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\varepsilon _{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\sin ^{2}\varphi }}+{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\varepsilon _{1}}}}\cos \varphi }}E(2)$
13. $E\leftarrow {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(180-2\varphi )&\sin(180-2\varphi )\\0&-\sin(180-2\varphi )&\cos(180-2\varphi )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E(1)\\E(2)\\E(3)\end{bmatrix}}$
14. $E\leftarrow {\begin{bmatrix}E(1)&E(2)&E(3)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {K(1)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&{\frac {K(2)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&0\\-{\frac {K(2)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&{\frac {K(1)}{\sqrt {K(1)^{2}+K(2)^{2}}}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}&-{\frac {V(2)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}\\0&{\frac {V(2)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}&{\frac {\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}{\sqrt {V(1)^{2}+V(2)^{2}+V(3)^{2}}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {V(3)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}&0&-{\frac {V(1)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}\\0&1&0\\{\frac {V(1)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}&0&{\frac {V(3)}{\sqrt {V(1)^{2}+V(3)^{2}}}}\end{bmatrix}}$