Распространение радиоволн ВЧ/Метод зеркальных отображений

Модель

Канал Релея

Паттерн мнимых источников

Метод изображений (метод зеркальных отображений) широко применяется в электростатике и электродинамике для решения краевых задач. В частности, в приближении геометрической оптики данный метод позволяет построить картину хода лучей при любом числе отражений.

Суть метода состоит в построении лучей относительно мнимых изображений источника или приемника сигнала. Мнимые изображении строятся согласно правилам построения изображений в системе зеркал, здесь зеркала повторяют форму граничных поверхностей.

На рисунке представлена типичная ситуация в условиях плотной городской застройки, когда антенна приемного устройства находится в области геометрической тени относительно источника сигнала. Сигнал на приемной антенне является результатом переотражения радиоволны от внешней границы зданий, т.н. канал Релея. Зная координаты источника и приемника можно провести точную трассировку лучей с помощью простых геометрических построений.

Алгоритм

Инициализация функций

Функция трассировки

[Источник_2, B]=Tracing(I, Стек_точек, Стек_граней, Источник_1, Частота, G)

1. $S \leftarrow$ Источник_1
2. Пока $I>0$
   1. $\rho \leftarrow$ Стек_точек
   2. $t \leftarrow$ Стек_граней
   3. $P \leftarrow$ $S$.Антенна().Позиция()
   4. $Ray \leftarrow$ Луч().Создать($P$, Вектор($P$, $\rho$,1))
   5. $p \leftarrow$ $Ray$.Пересечение($t$.Плоскость грани())
   6. Если $t$.Принадлежность($p$) $\wedge$ Расстояние($P,\rho$) $>$ Расстояние($P,p$) $\wedge$ НЕ IsShadowed($Ray$, $p$, G)
      1. $Angle \leftarrow$ $Ray$.Угол пересечения($t$.Плоскость грани())
      2. $S \leftarrow$ Вторичный источник при рейтрейсинге.Создать($S$.Напряженность(Частота, $p$, G.Среда распространения), $Angle$, $p$, $t$)
   7. Иначе
      1. $B \leftarrow$ ЛОЖЬ
      2. ВЫХОД
   8. $I \leftarrow I-1$
3. Источник_2 $\leftarrow S$
4. $B \leftarrow$ ИСТИНА
5. ВЫХОД

Рекурсия

NewLevel(I, Стек_точек, Стек_граней, Источник_1, Контрольная_точка, Частота, G)

1. $stack_{\rho} \leftarrow$ Стек_точек
2. $stack_t \leftarrow$ Стек_граней
3. $s \leftarrow$ Источник_1
4. $\omega \leftarrow$ Частота
5. $\Rho \leftarrow$ Контрольная_точка
6. $I \leftarrow I+1$
7. $\forall ~ f_m\in$ G.Множество отражающих объектов()
   1. $\forall ~ t_{mn} \in f_m$.Множество отражающих поверхностей()
      1. $\rho \Leftarrow stack_{\rho}$
      2. $\rho \leftarrow$ $\rho$.Построить зеркальное отображение($t_{mn}$.Плоскость грани())
      3. $stack_{\rho} \leftarrow \rho$
      4. $stack_t \leftarrow t_{mn}$
      5. $[S,~B] \leftarrow$ Tracing($I,~stack_{\rho},~stack_t,~s,~\omega,~$ G)
      6. Если $B$
         1. $P \leftarrow$ $S$.Антенна().Позиция()
         2. $p \leftarrow$ $\Rho$.Позиция()
         3. $Ray\leftarrow$ Луч().Создать($P$, Вектор($P$, $p$, 1))
         4. Если НЕ IsShadowed($Ray,p,$G)
            1. $\Rho$.Зарегистрировать($S$.Напряженность($\omega,~p$, G.Среда распространения()))
      7. Если НЕ IsEnd($E,~I~,i$)
         1. NewLevel($I,~stack_{\rho},~stack_t,~s,~\Rho,~\omega,~$ G)
      8. $\rho \leftarrow stack_{\rho}$
      9. $t_{mn} \leftarrow stack_t$
8. ВЫХОД

Предикат последнего отражения

IsEnd(E, I, i)

В связи с тем, что количество элементарных модельных экспериментов, а следовательно и временные издержки алгоритма, зависит от числа отражающих поверхностей $T$ и порядка отражения $I$ как $N=T^I$, то важно определить максимальный существенный для текущих условий порядок переотражения сигнала. Введем предикат последнего отражения следующим образом:

1. Если $E < E_{end}$, где

$E_{end}$ - пренебрежимый уровень сигнала

$E =$ $s_j$.Напряженность($\omega_n$, $\rho'$.Позиция(), G.Среда распространения())

2. Если $I > I_{max}$, где

$I_{max}$ - жестко ограниченный пользователем порядок переотражения

3. Если $i > i_{max}$

$i_{max}$ - ограниченное пользователем максимальное число раз неприхода сигнала подряд

$i = I' - I$, где

$I',I$ - порядки переотражения, при которых сигнал пришел в контрольную точку

Таким образом данный предикат имеет следующий вид IsEnd(E, I, i)$=1 \vee 2 \vee 3$

Предикат тени

IsShadowed(Луч, Точка, G)

Данный предикат проверяет наличие препятствия на пути Луча в некоторую точку P путем проверки нахождения отражающих объектов из множества G.Множество отражающих объектов(), где G - геометрическая модель, на отрезке Луч.Позиция() - P, исключая поверхности, на которых лежат P и Луч.Позиция(), если такие отражающие поверхности существуют.

1. $P \leftarrow$ Точка
2. $\forall ~ f_m\in$ G.Множество отражающих объектов()
   1. $\forall ~ t_{mn} \in f_m$.Множество отражающих поверхностей()
      1. $P'\leftarrow$ Луч.Пересечение($t_{mn}$.Плоскость грани())
      2. Если $t_{mn}$.Принадлежность($P'$) $\wedge$ Расстояние(Луч.Позиция(),$P$) $>$ Расстояние( Расстояние(Луч.Позиция(),$P'$)
         1. Вернуть ИСТИНА
3. Вернуть ЛОЖЬ

Предусловия

$stack_{t}$ - аналог стековой памяти, хранящей информацию о занесенных в нее отражающих поверхностей

$stack_{t}=\begin{Bmatrix} t&t&\cdots&t \end{Bmatrix}$, где

$t$ хранятся в виде ссылок на соответствующие элементы.

$stack_{\rho}$ - аналог стековой памяти, хранящей информацию о занесенных в нее мнимых точках

$stack_{\rho}=\begin{Bmatrix} \rho&\rho&\cdots&\rho \end{Bmatrix}$

Операции $stack \leftarrow x$ и $x \leftarrow stack$ аналогичны операциям push и pop соответственно. Операция $x \Leftarrow stack$ копирует последний элемент стека в x без извлечения.

$stack_t',stack_{\rho}'$ - локальные переменные, аналогичные $stack_t,stack_{\rho}$, использующиеся во внутренних подциклах

Операция $stack' \leftarrow stack$ копирует переменную $stack$ в $stack'$

Основное течение

1. $\forall ~ \rho_k \in$ G.Множество контрольных точек()
   1. $\forall ~ s_j \in$ G.Множество первичных источников()
      1. $s'\leftarrow s_j$
      2. $stack_{t}' \leftarrow t0_{mn}$ См. обсуждение к статье.
      3. $stack_{\rho}' \leftarrow \rho_k$
      4. $I \leftarrow 0$
      5. Переход 1.1.8.1.4
      6. $stack_{t}' \leftarrow stack_{t}$
      7. $stack_{\rho}' \leftarrow stack_{\rho}$
      8. $\forall ~ f_m\in$ G.Множество отражающих объектов()
         1. $\forall ~ t_{mn} \in f_m$.Множество отражающих поверхностей()
            1. $\rho' \leftarrow$ $\rho'$.Построить зеркальное отображение($t_{mn}$.Плоскость грани())
            2. $stack_{t}' \leftarrow t_{mn}$
            3. $stack_{\rho}' \leftarrow \rho'$
            4. $I' \leftarrow I$
            5. Position $\leftarrow$ $s_j$.Антенна().Позиция()
            6. $\rho' \leftarrow stack_{\rho}'$
            7. $t_{mn} \leftarrow stack_{t}'$
            8. Ray $\leftarrow$ Луч().Создать(Position, Вектор(Position,$\rho'$.Позиция(), 1))
            9. Если $I' > 0$
               1. $P\leftarrow$Ray.Пересечение($t_{mn}$.Плоскость грани())
               2. Если $t_{mn}$.Принадлежность($P$) $\wedge$ Расстояние(Position,$\rho'$.Позиция()) $>$ Расстояние(Position,$P$)
                  1. Переход 1.1.8.1.11
               3. Иначе
                  1. Переход 1.1.8.1.14
            10. Иначе
                1. $P\leftarrow$$\rho'$.Позиция()
            11. Если IsShadowed(Ray, P, G)
                1. Переход 1.1.8.1.14
            12. Если $I' > 0$
                1. Angle $\leftarrow$ Ray.Угол пересечения($t_{mn}$.Плоскость грани())
                2. $s_j \leftarrow$ Вторичный источник при рейтрейсинге.Создать($s_j$.Напряженность$(\omega_n,~\theta,~\varphi$, Расстояние(Position,$P$), G.Среда распространения()$),$ Angle, $P,~t_{mn}$)
                3. $\theta, \varphi \leftarrow 0$
                4. $I' \leftarrow I'-1$
                5. Переход 1.1.8.5
            13. $\rho'$.Зарегистрировать($s_j$.Напряженность$(\omega_n,~\theta,~\varphi$, Расстояние(Position, $\rho'$.Позиция()), G.Среда распространения()$)$)
            14. Если $E > E_{end}$ См. обсуждение к статье.
                1. $I \leftarrow I+1$
                2. $stack_t \leftarrow t_{m,n}$
                3. $stack_{\rho} \leftarrow \rho'$
                4. Переход 1.1.6
      9. $I \leftarrow I-1$
      10. Если $I > 0$
          1. $t_{m,n} \leftarrow stack_t$
          2. $\rho' \leftarrow stack_{\rho}$
          3. Переход 1.1.8
      11. $s_j \leftarrow s'$

1. $\forall ~ \rho_k \in$ G.Множество контрольных точек()
   1. $\forall ~ s_j \in$ G.Множество первичных источников()
      1. $\forall ~ \omega_n \in$ $s_j$.Антенна().Тип антенны().Амплитудно-частотная характеристика()
         1. $P \leftarrow$ $s_j$.Антенна().Позиция()
         2. $p \leftarrow$ $\rho_k$.Позиция()
         3. $Ray\leftarrow$ Луч().Создать($P$, Вектор($P$, $p$, 1))
         4. Если НЕ IsShadowed($Ray,p,$G)
            1. $\rho_k$.Зарегистрировать($s_j$.Напряженность($\omega_n,~p$, G.Среда распространения()))
         5. $I \leftarrow 1$
         6. $\forall ~ f_m\in$ G.Множество отражающих объектов()
            1. $\forall ~ t_{mn} \in f_m$.Множество отражающих поверхностей()
               1. $\rho \leftarrow$ $\rho_k$.Построить зеркальное отображение($t_{mn}$.Плоскость грани())
               2. $stack_{\rho} \leftarrow \rho$
               3. $stack_t \leftarrow t_{mn}$
               4. $[S,~B] \leftarrow$ Tracing($I,~stack_{\rho},~stack_t,~s_j,~\omega_n,~$ G)
               5. Если $B$
                  1. $P \leftarrow$ $S$.Антенна().Позиция()
                  2. $p \leftarrow$ $\rho_k$.Позиция()
                  3. $Ray\leftarrow$ Луч().Создать($P$, Вектор($P$, $p$, 1))
                  4. Если НЕ IsShadowed($Ray,p,$G)
                     1. $\rho_k$.Зарегистрировать($S$.Напряженность($\omega_n,~p$, G.Среда распространения()))
               6. Если НЕ IsEnd($E,~I~,i$)
                  1. NewLevel($I,~stack_{\rho},~stack_t,~s_j,~\rho_k,~\omega_n,~$ G)
               7. $\rho \leftarrow stack_{\rho}$
               8. $t_{mn} \leftarrow stack_t$