Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм

Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом encompassing_aperture_t - $\Omega _{1}=\left\langle {\vec {c}}_{1},\alpha _{1}\right\rangle$ и $\Omega _{2}=\left\langle {\vec {c}}_{2},\alpha _{2}\right\rangle$, где ${\vec {c}}_{i}$ - вектор направления на центральную точку $i$-го сектора (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::central_point), а $\alpha _{i}\in \left[0;\pi \right]$ - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::radius). Сектор, у которого ангулярный радиус равен $\pi$ охватывает сферу полностью независимо от вектора ${\vec {c}}_{i}$.

Сектор encompassing_aperture_t

В результате объединения создается новый сектор $\Omega _{12}=\left\langle {\vec {c}}_{12},\alpha _{12}\right\rangle =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$.

Вектора ${\vec {c}}_{i}$ могут быть либо нулевыми либо единичными. Сектор с нулевым вектором направления считается нейтральным по операции объединения, т.е. $\left\langle {\vec {0}},\alpha _{1}\right\rangle \cup \Omega =\Omega \cup \left\langle {\vec {0}},\alpha _{2}\right\rangle =\Omega$.

Далее рассматривается случай, в котором $\left|{\vec {c}}_{1}\right|=\left|{\vec {c}}_{2}\right|=1$.

Поскольку направленные отрезки ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ исходят из одной точки - центра сферы, оба отрезка принадлежат одной плоскости, причем эта плоскость является диаметральным сечением сферы. Поэтому задача поиска объединяющего сектора, то есть вектора ${\vec {c}}_{12}$ и ангулярного радиуса $\alpha _{12}$, становится двумерной.

Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$. Если ${\vec {c'}}_{1}\nparallel {\vec {c'}}_{2}$, то вектор ${\vec {c}}_{12}$, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$, если $\alpha _{12}<{\frac {\pi }{2}}$ и противоположен этой сумме, если $\alpha _{12}>{\frac {\pi }{2}}$.

Пусть далее $\cos \gamma ={\frac {{\vec {c}}_{1}\cdot {\vec {c}}_{2}}{\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot \left|{\vec {c}}_{2}\right|}}$, где $\gamma$ - угол между ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$.

Два особых случая:

$\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\Leftrightarrow \gamma +\alpha _{1}\leq \alpha _{2}$ и

$\Omega _{2}\subseteq \Omega _{1}\Leftrightarrow \gamma +\alpha _{2}\leq \alpha _{1}$.

Поэтому:

$\gamma +\alpha _{1}\leq \alpha _{2}\Rightarrow \Omega _{12}\equiv \Omega _{2}$, иначе

$\gamma +\alpha _{2}\leq \alpha _{1}\Rightarrow \Omega _{12}\equiv \Omega _{1}$.

Далее по тексту предполагается, что $\Omega _{1}\nsubseteq \Omega _{2}\land \Omega _{2}\nsubseteq \Omega _{1}$. Следовательно $\gamma \neq 0$.

Существует три случая.

Объединение секторов, у которых ${\vec {c}}_{1}\|{\vec {c}}_{2}$ (первый случай).

Рассмотрим первый случай, когда ${\vec {c}}_{1}\|{\vec {c}}_{2}$ (то есть $\cos \gamma \equiv -1$). Поскольку длины всех векторов равны единице, ${\vec {c}}_{2}=-{\vec {c}}_{1}$, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих $\Omega _{1}$ и $\Omega _{2}$, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать выбранные ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через ${\vec {c}}_{1}$.

Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор ${\vec {c}}_{n}$, перпендикулярный ${\vec {c}}_{1}$.

В описываемой реализации

${\vec {c}}_{n}=\left[{\begin{matrix}{\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}^{T}\Leftrightarrow {\vec {c}}_{1x}\equiv 0\\{\frac {{\begin{pmatrix}-{\frac {{\vec {c}}_{1y}}{{\vec {c}}_{1x}}}&1&0\end{pmatrix}}^{T}}{\left|{\begin{pmatrix}-{\frac {{\vec {c}}_{1y}}{{\vec {c}}_{1x}}}&1&0\end{pmatrix}}^{T}\right|}}\Leftrightarrow {\vec {c}}_{1x}\neq 0\end{matrix}}\right.$.

Тогда на плоскости, которой одновременно принадлежат ${\vec {c}}_{1}$, ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$, будет однозначно определен вектор ${\vec {c'}}_{12}$, отстоящий на одинаковом угловом расстоянии от векторов ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$ и, поэтому, параллельный вектору ${\vec {c}}_{12}$ центральной точки сектора-объединения.

Для нахождения вектора ${\vec {c'}}_{12}$ достаточно выразить его в базисе $\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{n}\right\rangle$ и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор ${\vec {c'}}_{12}$ имеет координаты

${\begin{pmatrix}\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\\\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\\\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\end{pmatrix}}$,

причем $\beta ={\frac {\pi -\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{2}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}$.

Тогда в мировых координатах

${\vec {c'}}_{12}={\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\\\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right){\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\\\cos {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\end{pmatrix}}$.

Пусть $\tau =-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)$ и ${\vec {c''}}_{12}={\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\\\cos {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\end{pmatrix}}$.

Тогда ${\vec {c'}}_{12}=-\tau {\vec {c''}}_{12}$.

Отсюда

${\vec {c}}_{12}=-{\frac {{\vec {c'}}_{12}}{\left|{\vec {c'}}_{12}\right|}}={\frac {\tau {\vec {c''}}_{12}}{\left|-\tau {\vec {c''}}_{12}\right|}}={\frac {{\vec {c''}}_{12}}{\left|{\vec {c''}}_{12}\right|}}$,

а ангулярный радиус будет равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\pi - \beta = \frac{\pi + \alpha_1 + \alpha_2}{2}} .

Во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , однако Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}\|{\vec {c'}}_{2}} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi} ).

Лемма

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0\leq \alpha _{1},\alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}}} .

Действительно, допустим Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi-\gamma-\alpha_2\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{\pi}{2}\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\Omega_2\subseteq\Omega_1} .

Противоречие ограничению, приведенному выше.

Аналогично доказывается ограничение Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0\leq \alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}}} .

Лемма Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{2}} не могут быть одновременно равны нулю. Иначе имел бы место случай 1 выше.

Следствие

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<\alpha_1+\alpha_2<\pi} .

Поскольку один из ангулярных радиусов обязательно ненулевой, примем ограничение Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}>0} (тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_2\ge 0} ).

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}\|{\vec {c'}}_{2}} (второй случай).

Решение задачи объединения сводится к поиску вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перпендикулярного ${\vec {c'}}_{1}$ (и ${\vec {c'}}_{2}$), лежащего в плоскости Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и ${\vec {c}}_{2}$, имеющего острый угол одновременно с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и с ${\vec {c}}_{2}$ и нормализованного.

Поскольку вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и ${\vec {c}}_{2}$ линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , следующим образом.

Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например ${\vec {c}}_{1}$, на вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перперндикулярный ${\vec {c'}}_{1}$ и образующий острый угол с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} . Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения ${\vec {c}}_{12}$ и проведенного перпендикуляра, как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} . Такой вектор очевидно будет сонаправлен с ${\vec {c}}_{12}$, а его длина будет равна

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{c'}_{12}\right|=\left|\vec{c}_1\right|\sin \alpha_1=\sin \alpha_1} ;

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c}}_{12}=\tau {\vec {c'}}_{12}} .

Обозначим как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{12,\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{2}\right\rangle ,y}} соответственно проекции вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} на ${\vec {c}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} а равно координаты вектора ${\vec {c'}}_{12}$ в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} . Из теоремы синусов следует, что

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\frac {\sin \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{\left|{\vec {c'}}_{12}\right|}}={\frac {\sin \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{\sin \alpha _{1}}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha _{2}\right)}{\left|{\vec {c'}}_{12,\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{2}\right\rangle ,x}\right|}}={\frac {\cos \alpha _{2}}{\left|{\vec {c'}}_{12,\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{2}\right\rangle ,x}\right|}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha _{1}\right)}{\left|{\vec {c'}}_{12,\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{2}\right\rangle ,y}\right|}}={\frac {\cos \alpha _{1}}{\left|{\vec {c'}}_{12,\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{2}\right\rangle ,y}\right|}}} .

Тогда в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} вектор ${\vec {c'}}_{12}$ будет равен:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Пусть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \tau '={\frac {\sin \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{\sin \alpha _{1}}}} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12}=\tau'\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Таким образом, во втором случае Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c}}_{12}={\frac {\tau '{\vec {c''}}_{12}}{\left|\tau '{\vec {c''}}_{12}\right|}}={\frac {{\vec {c''}}_{12}}{\left|{\vec {c''}}_{12}\right|}}} , Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\frac{\pi}{2}} .

В третьем случае предполагается, что Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c}}_{1}\nparallel {\vec {c}}_{2}} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2} .

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c}}_{1}\nparallel {\vec {c}}_{2}} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2} (третий случай).

Пусть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \delta =\alpha _{1}+\gamma +\alpha _{2}} . Здесь Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta>0} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \delta \neq \pi } , поскольку это - ситуации, описанные выше.

Тогда сектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_{12}} может быть задан парой Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c}}_{12}=\left(-1\right)^{s}\tau \left({\vec {c'}}_{1}+{\vec {c'}}_{2}\right)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\frac{\delta}{2}} . $\tau$ - скаляр, нормализующий Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} . Знак вектора-направления на центральную точку определяется тем, является ли угол $\delta$ выпуклым, т.е.

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=\left[\begin{matrix} 0\Leftrightarrow\delta<\pi \\ 1\Leftrightarrow\delta>\pi \end{matrix}\right.} .

Тогда для окончательного решения необходимо найти ${\vec {c'}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} . Для этого выразим ${\vec {c'}}_{1}$ в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и ${\vec {c'}}_{2}$ - в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} .

Рассмотрим вектора ${\vec {c}}_{1}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и угол Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}} . Если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\equiv 0} , то Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}={\vec {c}}_{1}} , поэтому в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} он будет равен Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}^{T}} .

Далее рассмотрим случай, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\ne 0} . Направленные отрезки ${\vec {c}}_{1}$, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и ${\vec {c}}_{2}$, с началом в точке пересечения Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и сферы до точки пересечения с ${\vec {c}}_{1}$, будут образовывать треугольник, стороны которого соотносятся друг с другом как

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\left|\vec{c'}_{1}\right|}{\sin\gamma}=\frac{1}{\sin\gamma}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\pi-\alpha_1-\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\alpha_1+\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1y}}{\sin\alpha_1}} .

Поэтому Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}={\frac {1}{\sin \gamma }}{\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin \left(\alpha _{1}+\gamma \right)\\\sin \alpha _{1}\end{pmatrix}}} . Заметим, что поскольку Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma>0} это равенство выполняется также и для случая Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}\equiv 0} .

Также отметим, что аналогичные рассуждения справедливы и для Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} .

Далее, пусть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \tau '={\frac {1}{\sin \gamma }}} , и

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_1=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}} , и

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c''}}_{2}{\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin \alpha _{2}\\\sin \left(\alpha _{2}+\gamma \right)\end{pmatrix}}} .

Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1=\tau'\vec{c''}_1} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{2}=\tau '{\vec {c''}}_{2}} , и

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \frac{\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}=\left(-1\right)^s \frac{\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}} , и

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{12}={\frac {\delta }{2}}} .