Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм

Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом encompassing_aperture_t - $\Omega _{1}=\left\langle {\vec {c}}_{1},\alpha _{1}\right\rangle$ и $\Omega _{2}=\left\langle {\vec {c}}_{2},\alpha _{2}\right\rangle$, где ${\vec {c}}_{i}$ - вектор направления на центральную точку $i$-го сектора (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::central_point), а $\alpha _{i}$ - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::radius).

Сектор encompassing_aperture_t

В результате объединения создается новый сектор $\Omega _{12}=\left\langle {\vec {c}}_{12},\alpha _{12}\right\rangle =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$.

Вектора ${\vec {c}}_{i}$ могут быть либо нулевыми либо единичными. Сектор с нулевым вектором направления считается нейтральным по операции объединения, т.е. $\left\langle {\vec {0}},\alpha _{1}\right\rangle \cup \Omega =\Omega \cup \left\langle {\vec {0}},\alpha _{2}\right\rangle =\Omega$.

Далее рассматривается случай, в котором $\left|{\vec {c}}_{1}\right|=\left|{\vec {c}}_{2}\right|=1$.

Поскольку направленные отрезки ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ исходят из одной точки - центра сферы, оба отрезка принадлежат одной плоскости, причем эта плоскость является диаметральным сечением сферы. Поэтому задача поиска объединяющего сектора, то есть вектора ${\vec {c}}_{12}$ и ангулярного радиуса $\alpha _{12}$, становится двумерной.

Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$. Если ${\vec {c'}}_{1}\nparallel {\vec {c'}}_{2}$, то вектор ${\vec {c}}_{12}$, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$, если $\alpha _{12}<{\frac {\pi }{2}}$ и противоположен этой сумме, если $\alpha _{12}>{\frac {\pi }{2}}$.

Пусть далее ${\textrm {cos}}\gamma ={\frac {{\vec {c}}_{1}\cdot {\vec {c}}_{2}}{\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot \left|{\vec {c}}_{2}\right|}}$, где $\gamma$ - угол между ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$.

Существует три случая.

Объединение секторов, у которых ${\vec {c}}_{1}\|{\vec {c}}_{2}$.

Рассмотрим первый случай, когда ${\vec {c}}_{1}\|{\vec {c}}_{2}$ (то есть ${\textrm {cos}}\gamma \equiv -1$). Поскольку длины всех векторов равны единице, ${\vec {c}}_{2}=-{\vec {c}}_{1}$, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих $\Omega _{1}$ и $\Omega _{2}$, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать выбранные ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через ${\vec {c}}_{1}$.

Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор ${\vec {c}}_{n}$, перпендикулярный ${\vec {c}}_{1}$.

В описываемой реализации

${\vec {c}}_{n}=\left[{\begin{matrix}{\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}^{T},\Leftrightarrow {\vec {c}}_{1}.x\equiv 0\\{\begin{pmatrix}-{\frac {{\vec {c}}_{1}.y}{{\vec {c}}_{1}.x}}&1&0\end{pmatrix}}^{T},\Leftrightarrow {\vec {c}}_{1}.x\equiv 0\end{matrix}}\right.$.

Тогда на плоскости, которой одновременно принадлежат ${\vec {c}}_{1}$, ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$, будет однозначно определен вектор ${\vec {c'}}_{12}$, отстоящий на одинаковом угловом расстоянии от векторов ${\vec {c'}}_{1}$ и ${\vec {c'}}_{2}$ и, поэтому, параллельный вектору ${\vec {c}}_{12}$ центральной точки сектора-объединения.

Для нахождения вектора ${\vec {c'}}_{12}$ достаточно выразить его в базисе $\left\langle {\vec {c}}_{1},{\vec {c}}_{n}\right\rangle$ и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор ${\vec {c'}}_{12}$ имеет координаты

${\begin{pmatrix}\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot {\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right){\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\\\left|{\vec {c}}_{1}\right|\cdot {\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right){\textrm {sin}}\left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right){\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\\{\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-\beta \right){\textrm {sin}}\left({\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\beta \right)\right)\end{pmatrix}}$,

причем $\beta ={\frac {\pi -\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{2}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}$.

Тогда в мировых координатах

${\vec {c'}}_{12}={\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right){\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\\{\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right){\textrm {sin}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\end{pmatrix}}={\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right){\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\textrm {sin}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\\{\textrm {cos}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\end{pmatrix}}$.

Пусть $\tau =-{\textrm {cos}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)$ и ${\vec {c''}}_{12}={\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\textrm {sin}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\\{\textrm {cos}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\end{pmatrix}}$.

Тогда ${\vec {c'}}_{12}=-\tau {\vec {c''}}_{12}$.

Отсюда

${\vec {c}}_{12}=-{\frac {{\vec {c'}}_{12}}{\left|{\vec {c'}}_{12}\right|}}={\frac {\tau {\vec {c''}}_{12}}{\left|-\tau {\vec {c''}}_{12}\right|}}={\frac {{\vec {c''}}_{12}}{\left|{\vec {c''}}_{12}\right|}}$,

а ангулярный радиус будет равен

$\alpha _{12}=\pi -\beta ={\frac {\pi +\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}$.

Во втором случае ${\vec {c}}_{1}\nparallel {\vec {c}}_{2}$, однако ${\vec {c'}}_{1}\|{\vec {c'}}_{2}$ (то есть $\alpha _{1}+\gamma +\alpha _{2}\equiv \pi$).