Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм: различия между версиями

Материал из CAMaaS preliminary wiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t|encompassing_aperture_t]] - <math>\Omega_1=\left\langle\vec{c}_1, \alpha_1\right\rangle</math> и <math>\Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle</math>, где <math>\vec{c}_i</math> - вектор направления на центральную точку <math>i</math>-го сектора (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::central_point|encompassing_aperture_t::central_point]]), а <math>\alpha_i</math> - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::radius|encompassing_aperture_t::radius]]).
Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t|encompassing_aperture_t]] - <math>\Omega_1=\left\langle\vec{c}_1, \alpha_1\right\rangle</math> и <math>\Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle</math>, где <math>\vec{c}_i</math> - вектор направления на центральную точку <math>i</math>-го сектора (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::central_point|encompassing_aperture_t::central_point]]), а <math>\alpha_i\in\left[0;\pi\right]</math> - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::radius|encompassing_aperture_t::radius]]). Сектор, у которого ангулярный радиус равен <math>\pi</math> охватывает сферу полностью независимо от вектора <math>\vec{c}_i</math>.
[[Файл:encompassing_aperture_t.svg|thumb|Сектор [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t|encompassing_aperture_t]]|400px]]
[[Файл:encompassing_aperture_t.svg|thumb|Сектор [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t|encompassing_aperture_t]]|400px]]


Строка 13: Строка 13:
Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.|400px]]
Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.|400px]]


Пусть далее <math>\textrm{cos}\gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>.
Пусть далее <math>\cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>.
 
Два особых случая:
:<math>\Omega_1\subseteq\Omega_2\Leftrightarrow\gamma+\alpha_1\leq\alpha_2</math> и
:<math>\Omega_2\subseteq\Omega_1\Leftrightarrow\gamma+\alpha_2\leq\alpha_1</math>.
 
Поэтому:
:<math>\gamma+\alpha_1\leq\alpha_2\Rightarrow\Omega_{12}\equiv\Omega_2</math>, иначе
:<math>\gamma+\alpha_2\leq\alpha_1\Rightarrow\Omega_{12}\equiv\Omega_1</math>.
 
Далее по тексту предполагается, что <math>\Omega_1\nsubseteq\Omega_2\land\Omega_2\nsubseteq\Omega_1</math>. Следовательно <math>\gamma\ne0</math>.


Существует три случая.
Существует три случая.


[[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg|thumb|
[[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg|thumb|
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math>.|400px]]
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (''первый случай'').|400px]]


Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\textrm{cos}\gamma\equiv-1</math>). Поскольку длины всех векторов равны единице, <math>\vec{c}_2=-\vec{c}_1</math>, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math>, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать ''выбранные'' <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через <math>\vec{c}_1</math>.
Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\cos \gamma\equiv-1</math>). Поскольку длины всех векторов равны единице, <math>\vec{c}_2=-\vec{c}_1</math>, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math>, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать ''выбранные'' <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через <math>\vec{c}_1</math>.


Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>.
Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>.
Строка 34: Строка 44:
Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты  
Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты  
:<math>\begin{pmatrix}
:<math>\begin{pmatrix}
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\textrm{sin}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\textrm{sin}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
\end{pmatrix}</math>,
\end{pmatrix}</math>,


Строка 46: Строка 56:
:<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
:<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\
\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\
\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\textrm{sin}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right)
\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right)
\end{pmatrix} = \textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
\end{pmatrix} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\textrm{sin}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
-\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
\textrm{cos}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
\cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
\end{pmatrix}</math>.
\end{pmatrix}</math>.


Пусть <math>\tau=-\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)</math> и <math>\vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
Пусть <math>\tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)</math> и <math>\vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\textrm{sin}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
\textrm{cos}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
\cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
\end{pmatrix}</math>.
\end{pmatrix}</math>.


Строка 69: Строка 79:


Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).
Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).
'''Лемма'''
:<math>0\le\alpha_1,\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math>.
Действительно, допустим <math>\alpha_1\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi-\gamma-\alpha_2\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{\pi}{2}\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\Omega_2\subseteq\Omega_1</math>.
''Противоречие'' ограничению, приведенному выше.
Аналогично доказывается ограничение <math>0\le\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math>.
'''Лемма'''
<math>\alpha_1</math> и <math>\alpha_2</math> не могут быть одновременно равны нулю. Иначе имел бы место случай 1 выше.
'''Следствие'''
:<math>0<\alpha_1+\alpha_2<\pi</math>.
Поскольку один из ангулярных радиусов обязательно ненулевой, примем ограничение <math>\alpha_1>0</math> (тогда <math>\alpha_2\ge 0</math>).


[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg|thumb|
[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg|thumb|
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math>.|400px]]
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math> (''второй случай'').|400px]]
Решение задачи объединения сводится к поиску вектора <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и <math>\vec{c'}_2</math>), лежащего в плоскости <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, имеющего острый угол одновременно с <math>\vec{c}_1</math> и с <math>\vec{c}_2</math> и нормализованного.
 
Поскольку вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с <math>\vec{c}_{12}</math>, следующим образом.
 
Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например <math>\vec{c}_1</math>, на вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, перперндикулярный <math>\vec{c'}_1</math> и образующий острый угол с <math>\vec{c}_1</math>. Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения <math>\vec{c}_{12}</math> и проведенного перпендикуляра, как <math>\vec{c'}_{12}</math>. Такой вектор очевидно будет сонаправлен с <math>\vec{c}_{12}</math>, а его длина будет равна
:<math>\left|\vec{c'}_{12}\right|=\left|\vec{c}_1\right|\sin \alpha_1=\sin \alpha_1</math>;
:<math>\vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}</math>.
 
Обозначим как <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}</math> и <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}</math> соответственно проекции вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> на <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> а равно координаты вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math>. Из теоремы синусов следует, что
:<math>\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}=
\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}=
\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}=
\frac{\cos \alpha_2}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}=
\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}=
\frac{\cos \alpha_1}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}</math>.
 
Тогда в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math> вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> будет равен:
:<math>\vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha_2 \\
\cos\alpha_1
\end{pmatrix}</math>.
 
Пусть <math>\tau'=\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}</math>, и <math>\vec{c''}_{12}=\tau'\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha_2 \\
\cos\alpha_1
\end{pmatrix}</math>.
 
Таким образом, во втором случае <math>\vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left|\tau'\vec{c''}_{12}\right|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left|\vec{c''}_{12}\right|}</math>,
<math>\alpha_{12}=\frac{\pi}{2}</math>.
 
В '''третьем случае''' предполагается, что <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>.
 
[[Файл:encompassing_aperture_t_unify_extra.svg|thumb|
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math> (''третий случай'').|400px]]
 
Пусть <math>\delta=\alpha_1+\gamma+\alpha_2</math>. Здесь <math>\delta>0</math> и <math>\delta\ne\pi</math>, поскольку это - ситуации, описанные выше.
 
Тогда сектор <math>\Omega_{12}</math> может быть задан парой <math>\vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \tau\left(\vec{c'}_1+\vec{c'}_2\right)</math> и <math>\alpha_{12}=\frac{\delta}{2}</math>. <math>\tau</math> - скаляр, нормализующий <math>\vec{c}_{12}</math>. Знак вектора-направления на центральную точку определяется тем, является ли угол <math>\delta</math> выпуклым, т.е.
:<math>s=\left[\begin{matrix}
0\Leftrightarrow\delta<\pi \\
1\Leftrightarrow\delta>\pi
\end{matrix}\right.</math>.
 
Тогда для окончательного решения необходимо найти <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>. Для этого выразим <math>\vec{c'}_1</math> в базисе <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math> - в базисе <math>\vec{c}_2</math>.
 
Рассмотрим вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c'}_1</math> и угол <math>\alpha_1</math>. Если <math>\alpha_1\equiv 0</math>, то <math>\vec{c'}_1=\vec{c}_1</math>, поэтому в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math> он будет равен <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T</math>.
 
Далее рассмотрим случай, когда <math>\alpha_1\ne 0</math>. Направленные отрезки <math>\vec{c}_1</math>, <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, с началом в точке пересечения <math>\vec{c'}_1</math> и сферы до точки пересечения с <math>\vec{c}_1</math>, будут образовывать треугольник, стороны которого соотносятся друг с другом как
:<math>\frac{\left|\vec{c'}_{1}\right|}{\sin\gamma}=\frac{1}{\sin\gamma}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\pi-\alpha_1-\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\alpha_1+\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1y}}{\sin\alpha_1}</math>.
 
Поэтому <math>\vec{c'}_1=\frac{1}{\sin\gamma}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}</math>. Заметим, что поскольку <math>\gamma>0</math> это равенство выполняется также и для случая <math>\alpha_1\equiv 0</math>.
 
Также отметим, что аналогичные рассуждения справедливы и для <math>\vec{c'}_2</math>.
 
Далее, пусть <math>\tau'=\frac{1}{\sin\gamma}</math>, и
:<math>\vec{c''}_1=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}</math>, и
:<math>\vec{c''}_2\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\alpha_2 \\ \sin\left(\alpha_2 + \gamma\right)\end{pmatrix}</math>.
 
Тогда <math>\vec{c'}_1=\tau'\vec{c''}_1</math> и <math>\vec{c'}_2=\tau'\vec{c''}_2</math>, и
:<math>\vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \frac{\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}=\left(-1\right)^s \frac{\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}</math>, и
:<math>\alpha_{12}=\frac{\delta}{2}</math>.

Текущая версия на 22:10, 1 декабря 2018

Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом encompassing_aperture_t - Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1=\left\langle\vec{c}_1, \alpha_1\right\rangle} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle} , где - вектор направления на центральную точку Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): i -го сектора (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::central_point), а Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_i\in\left[0;\pi\right]} - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::radius). Сектор, у которого ангулярный радиус равен Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): \pi охватывает сферу полностью независимо от вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_i} .

Сектор encompassing_aperture_t

В результате объединения создается новый сектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_{12}=\left\langle\vec{c}_{12}, \alpha_{12}\right\rangle = \Omega_1\cup\Omega_2} .

Вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_i} могут быть либо нулевыми либо единичными. Сектор с нулевым вектором направления считается нейтральным по операции объединения, т.е. Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{0}, \alpha_1\right\rangle\cup\Omega=\Omega\cup\left\langle\vec{0}, \alpha_2\right\rangle = \Omega} .

Далее рассматривается случай, в котором Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{c}_1\right|=\left|\vec{c}_2\right|=1} .

Поскольку направленные отрезки Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} исходят из одной точки - центра сферы, оба отрезка принадлежат одной плоскости, причем эта плоскость является диаметральным сечением сферы. Поэтому задача поиска объединяющего сектора, то есть вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} и ангулярного радиуса Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}} , становится двумерной.

Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и . Если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2} , то вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} , если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}<\frac{\pi}{2}} и противоположен этой сумме, если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}>\frac{\pi}{2}} .

Пусть далее Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} - угол между Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} .

Два особых случая:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1\subseteq\Omega_2\Leftrightarrow\gamma+\alpha_1\leq\alpha_2} и
Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2\subseteq\Omega_1\Leftrightarrow\gamma+\alpha_2\leq\alpha_1} .

Поэтому:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma+\alpha_1\leq\alpha_2\Rightarrow\Omega_{12}\equiv\Omega_2} , иначе
.

Далее по тексту предполагается, что Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1\nsubseteq\Omega_2\land\Omega_2\nsubseteq\Omega_1} . Следовательно Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma\ne0} .

Существует три случая.

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\|\vec{c}_2} (первый случай).

Рассмотрим первый случай, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\|\vec{c}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma\equiv-1} ). Поскольку длины всех векторов равны единице, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2=-\vec{c}_1} , а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2} , также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать выбранные Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} ; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} .

Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_n} , перпендикулярный Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} .

В описываемой реализации

.

Тогда на плоскости, которой одновременно принадлежат Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} , будет однозначно определен вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} , отстоящий на одинаковом угловом расстоянии от векторов Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} и, поэтому, параллельный вектору Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} центральной точки сектора-объединения.

Для нахождения вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} достаточно выразить его в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle} и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} имеет координаты

,

причем Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\frac{\pi-\left(\alpha_1 + \alpha_2\right)}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} .

Тогда в мировых координатах

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \end{pmatrix} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \end{pmatrix}} .

Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \end{pmatrix}} .

Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12} = -\tau\vec{c''}_{12}} .

Отсюда

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12} = -\frac{\vec{c'}_{12}}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}=\frac{\tau\vec{c''}_{12}}{\left|-\tau\vec{c''}_{12}\right|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left|\vec{c''}_{12}\right|}} ,

а ангулярный радиус будет равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\pi - \beta = \frac{\pi + \alpha_1 + \alpha_2}{2}} .

Во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , однако Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\|\vec{c'}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi} ).

Лемма

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0\leq \alpha _{1},\alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}}} .

Действительно, допустим Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi-\gamma-\alpha_2\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{\pi}{2}\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\Omega_2\subseteq\Omega_1} .

Противоречие ограничению, приведенному выше.

Аналогично доказывается ограничение Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\le\alpha_2<\frac{\pi}{2}} .

Лемма Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_2} не могут быть одновременно равны нулю. Иначе имел бы место случай 1 выше.

Следствие

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle 0<\alpha _{1}+\alpha _{2}<\pi } .


Поскольку один из ангулярных радиусов обязательно ненулевой, примем ограничение Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1>0} (тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_2\ge 0} ).

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\|\vec{c'}_2} (второй случай).

Решение задачи объединения сводится к поиску вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перпендикулярного (и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} ), лежащего в плоскости Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} , имеющего острый угол одновременно с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и с и нормализованного.

Поскольку вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , следующим образом.

Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , на вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перперндикулярный Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и образующий острый угол с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} . Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} и проведенного перпендикуляра, как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} . Такой вектор очевидно будет сонаправлен с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , а его длина будет равна

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left|{\vec {c'}}_{12}\right|=\left|{\vec {c}}_{1}\right|\sin \alpha _{1}=\sin \alpha _{1}} ;
Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}} .

Обозначим как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}} соответственно проекции вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} на и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} а равно координаты вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} . Из теоремы синусов следует, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}= \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\cos \alpha_2}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}= \frac{\cos \alpha_1}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}} .

Тогда в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} будет равен:

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Пусть Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \tau '={\frac {\sin \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)}{\sin \alpha _{1}}}} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12}=\tau'\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .

Таким образом, во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left|\tau'\vec{c''}_{12}\right|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left|\vec{c''}_{12}\right|}} , Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\frac{\pi}{2}} .

В третьем случае предполагается, что Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , и .

Объединение секторов, у которых Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2} (третий случай).

Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta=\alpha_1+\gamma+\alpha_2} . Здесь Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta>0} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\ne\pi} , поскольку это - ситуации, описанные выше.

Тогда сектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_{12}} может быть задан парой Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \tau\left(\vec{c'}_1+\vec{c'}_2\right)} и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{12}={\frac {\delta }{2}}} . Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau} - скаляр, нормализующий Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} . Знак вектора-направления на центральную точку определяется тем, является ли угол Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta} выпуклым, т.е.

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=\left[\begin{matrix} 0\Leftrightarrow\delta<\pi \\ 1\Leftrightarrow\delta>\pi \end{matrix}\right.} .

Тогда для окончательного решения необходимо найти и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} . Для этого выразим Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} - в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} .

Рассмотрим вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и угол Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}} . Если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\equiv 0} , то Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}={\vec {c}}_{1}} , поэтому в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} он будет равен Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T} .

Далее рассмотрим случай, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1\ne 0} . Направленные отрезки Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} , с началом в точке пересечения и сферы до точки пересечения с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , будут образовывать треугольник, стороны которого соотносятся друг с другом как

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\left|\vec{c'}_{1}\right|}{\sin\gamma}=\frac{1}{\sin\gamma}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\pi-\alpha_1-\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\alpha_1+\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1y}}{\sin\alpha_1}} .

Поэтому Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1=\frac{1}{\sin\gamma}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}} . Заметим, что поскольку Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma>0} это равенство выполняется также и для случая Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \alpha _{1}\equiv 0} .

Также отметим, что аналогичные рассуждения справедливы и для Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} .

Далее, пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau'=\frac{1}{\sin\gamma}} , и

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_1=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}} , и
Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_2\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\alpha_2 \\ \sin\left(\alpha_2 + \gamma\right)\end{pmatrix}} .

Тогда Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{1}=\tau '{\vec {c''}}_{1}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2=\tau'\vec{c''}_2} , и

Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \frac{\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}=\left(-1\right)^s \frac{\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left|\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right|}} , и
Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\frac{\delta}{2}} .
Источник — http://51.250.0.107/w/index.php?title=Шаблон:Распространение_радиоволн_ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::unify/Алгоритм&oldid=7533