Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм: различия между версиями
| Строка 13: | Строка 13: | ||
Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.|400px]] | Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.|400px]] | ||
Пусть далее <math>\ | Пусть далее <math>\cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. | ||
Существует три случая. | Существует три случая. | ||
[[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg|thumb| | [[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg|thumb| | ||
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math>.|400px]] | Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (''первый случай'').|400px]] | ||
Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\ | Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\cos \gamma\equiv-1</math>). Поскольку длины всех векторов равны единице, <math>\vec{c}_2=-\vec{c}_1</math>, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math>, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать ''выбранные'' <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через <math>\vec{c}_1</math>. | ||
Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>. | Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>. | ||
| Строка 34: | Строка 34: | ||
Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты | Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты | ||
:<math>\begin{pmatrix} | :<math>\begin{pmatrix} | ||
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\ | \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ | ||
\left|\vec{c}_1\right|\cdot\ | \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) | ||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | ||
\ | \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ | ||
\ | \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) | ||
\end{pmatrix}</math>, | \end{pmatrix}</math>, | ||
| Строка 46: | Строка 46: | ||
:<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} | :<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\ | \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\ | ||
\ | \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) | ||
\end{pmatrix} = \ | \end{pmatrix} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
-\ | -\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ | ||
\ | \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} | ||
\end{pmatrix}</math>. | \end{pmatrix}</math>. | ||
Пусть <math>\tau=-\ | Пусть <math>\tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)</math> и <math>\vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\ | \sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ | ||
\ | \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} | ||
\end{pmatrix}</math>. | \end{pmatrix}</math>. | ||
| Строка 71: | Строка 71: | ||
[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg|thumb| | [[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg|thumb| | ||
Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math>.|400px]] | Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math> (''второй случай'').|400px]] | ||
Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и c' | Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и <math>\vec{c'}_2</math>), лежащего в плоскости <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, имеющего острый угол одновременно с <math>\vec{c}_1</math> и с <math>\vec{c}_2</math> и нормализованного. | ||
Поскольку вектора | Поскольку вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с <math>\vec{c}_{12}</math>, следующим образом. | ||
Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например <math>\vec{c}_1</math>, на вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, перперндикулярный <math>\vec{c'}_1</math> и образующий острый угол с <math>\vec{c}_1</math>. Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения <math>\vec{c}_{12}</math> и проведенного перпендикуляра, как <math>\vec{c'}_{12}</math>. Такой вектор очевидно будет сонаправлен с <math>\vec{c}_{12}</math>, а его длина будет равна | |||
:<math>\left|\vec{c'}_{12}\right|=\left|\vec{c}_1\right|\sin \alpha_1=\sin \alpha_1</math>; | |||
:<math>\vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}</math>. | |||
Обозначим как <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}</math> и <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}</math> соответственно проекции вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> на <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> а равно координаты вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math>. Из теоремы синусов следует, что | |||
:<math>\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}= | |||
\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}= | |||
\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= | |||
\frac{\cos \alpha_2}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= | |||
\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}= | |||
\frac{\cos \alpha_1}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}</math>. | |||
Тогда в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math> вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> будет равен: | |||
:<math>\vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} | |||
\begin{pmatrix} | |||
\cos\alpha_2 \\ | |||
\cos\alpha_1 | |||
\end{pmatrix}</math>. | |||
Версия 16:57, 1 декабря 2018
Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом encompassing_aperture_t - и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_i} - вектор направления на центральную точку Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): i -го сектора (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::central_point), а Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_i} - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом encompassing_aperture_t::radius).
и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle}
, где Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_i}
- вектор направления на центральную точку Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): i
-го сектора (возвращаемый методом 
В результате объединения создается новый сектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_{12}=\left\langle\vec{c}_{12}, \alpha_{12}\right\rangle = \Omega_1\cup\Omega_2} .
Вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_i} могут быть либо нулевыми либо единичными. Сектор с нулевым вектором направления считается нейтральным по операции объединения, т.е. Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{0}, \alpha_1\right\rangle\cup\Omega=\Omega\cup\left\langle\vec{0}, \alpha_2\right\rangle = \Omega} .
Далее рассматривается случай, в котором Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{c}_1\right|=\left|\vec{c}_2\right|=1} .
Поскольку направленные отрезки Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} исходят из одной точки - центра сферы, оба отрезка принадлежат одной плоскости, причем эта плоскость является диаметральным сечением сферы. Поэтому задача поиска объединяющего сектора, то есть вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} и ангулярного радиуса Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}} , становится двумерной.
и противоположен этой сумме, если Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}>\frac{\pi}{2}}
.Пусть далее Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} - угол между Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} .
Существует три случая.
Рассмотрим первый случай, когда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\|\vec{c}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma\equiv-1} ). Поскольку длины всех векторов равны единице, Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2=-\vec{c}_1} , а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_2} , также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать выбранные Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} ; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} .
Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_n} , перпендикулярный Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} .
В описываемой реализации
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_n=\left[\begin{matrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\equiv 0 \\ \frac{\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T}{\left|\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T\right|}\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\ne 0 \end{matrix}\right.} .
Тогда на плоскости, которой одновременно принадлежат Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} , будет однозначно определен вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} , отстоящий на одинаковом угловом расстоянии от векторов Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} и, поэтому, параллельный вектору Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} центральной точки сектора-объединения.
Для нахождения вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} достаточно выразить его в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle} и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} имеет координаты
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ \left|\vec{c}_1\right|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \end{pmatrix}} ,
причем Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta=\frac{\pi-\left(\alpha_1 + \alpha_2\right)}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} .
Тогда в мировых координатах
- Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\vec {c'}}_{12}={\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\\\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\right){\begin{pmatrix}{\vec {c}}_{1}&{\vec {c}}_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\\\cos {\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}\end{pmatrix}}} .
Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\ \cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \end{pmatrix}} .
Тогда Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12} = -\tau\vec{c''}_{12}} .
Отсюда
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12} = -\frac{\vec{c'}_{12}}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}=\frac{\tau\vec{c''}_{12}}{\left|-\tau\vec{c''}_{12}\right|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left|\vec{c''}_{12}\right|}} ,
а ангулярный радиус будет равен
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{12}=\pi - \beta = \frac{\pi + \alpha_1 + \alpha_2}{2}} .
Во втором случае Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2} , однако Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1\|\vec{c'}_2} (то есть Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi} ).
Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перпендикулярного Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} (и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_2} ), лежащего в плоскости Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} , имеющего острый угол одновременно с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} и нормализованного.
Поскольку вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , следующим образом.
Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} , на вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , перперндикулярный Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_1} и образующий острый угол с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} . Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} и проведенного перпендикуляра, как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} . Такой вектор очевидно будет сонаправлен с Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12}} , а его длина будет равна
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{c'}_{12}\right|=\left|\vec{c}_1\right|\sin \alpha_1=\sin \alpha_1} ;
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}} .
Обозначим как Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}} соответственно проекции вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} на Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}_2} а равно координаты вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} . Из теоремы синусов следует, что
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12}\right|}= \frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\cos \alpha_2}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right|}= \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}= \frac{\cos \alpha_1}{\left|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right|}} .
Тогда в базисе Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle} вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}} будет равен:
- Невозможно разобрать выражение (MathML с запасными SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_1 \end{pmatrix}} .