Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing aperture t::unify/Алгоритм - История изменений

Андрей Чусов в 12:10, 1 декабря 2018

2018-12-01T12:10:26Z

← Предыдущая		Версия 22:10, 1 декабря 2018
Строка 134:		Строка 134:
	В '''третьем случае''' предполагается, что <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>.		В '''третьем случае''' предполагается, что <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>.

	~~Вследствие~~ этого		[[Файл:encompassing_aperture_t_unify_extra.svg\|thumb\|
			Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math> (''третий случай'').\|400px]]

			Пусть <math>\delta=\alpha_1+\gamma+\alpha_2</math>. Здесь <math>\delta>0</math> и <math>\delta\ne\pi</math>, поскольку это - ситуации, описанные выше.

			Тогда сектор <math>\Omega_{12}</math> может быть задан парой <math>\vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \tau\left(\vec{c'}_1+\vec{c'}_2\right)</math> и <math>\alpha_{12}=\frac{\delta}{2}</math>. <math>\tau</math> - скаляр, нормализующий <math>\vec{c}_{12}</math>. Знак вектора-направления на центральную точку определяется тем, является ли угол <math>\delta</math> выпуклым, т.е.
			:<math>s=\left[\begin{matrix}
			0\Leftrightarrow\delta<\pi \\
			1\Leftrightarrow\delta>\pi
			\end{matrix}\right.</math>.

			Тогда для окончательного решения необходимо найти <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>. Для этого выразим <math>\vec{c'}_1</math> в базисе <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math> - в базисе <math>\vec{c}_2</math>.

			Рассмотрим вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c'}_1</math> и угол <math>\alpha_1</math>. Если <math>\alpha_1\equiv 0</math>, то <math>\vec{c'}_1=\vec{c}_1</math>, поэтому в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math> он будет равен <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T</math>.

			Далее рассмотрим случай, когда <math>\alpha_1\ne 0</math>. Направленные отрезки <math>\vec{c}_1</math>, <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, с началом в точке пересечения <math>\vec{c'}_1</math> и сферы до точки пересечения с <math>\vec{c}_1</math>, будут образовывать треугольник, стороны которого соотносятся друг с другом как
			:<math>\frac{\left\|\vec{c'}_{1}\right\|}{\sin\gamma}=\frac{1}{\sin\gamma}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\pi-\alpha_1-\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1x}}{\sin\left(\alpha_1+\gamma\right)}=\frac{\vec{c'}_{1y}}{\sin\alpha_1}</math>.

			Поэтому <math>\vec{c'}_1=\frac{1}{\sin\gamma}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}</math>. Заметим, что поскольку <math>\gamma>0</math> это равенство выполняется также и для случая <math>\alpha_1\equiv 0</math>.

			Также отметим, что аналогичные рассуждения справедливы и для <math>\vec{c'}_2</math>.

			Далее, пусть <math>\tau'=\frac{1}{\sin\gamma}</math>, и
			:<math>\vec{c''}_1=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\left(\alpha_1 + \gamma\right) \\ \sin\alpha_1\end{pmatrix}</math>, и
			:<math>\vec{c''}_2\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\alpha_2 \\ \sin\left(\alpha_2 + \gamma\right)\end{pmatrix}</math>.

			Тогда <math>\vec{c'}_1=\tau'\vec{c''}_1</math> и <math>\vec{c'}_2=\tau'\vec{c''}_2</math>, и
			:<math>\vec{c}_{12}=\left(-1\right)^s \frac{\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left\|\tau'\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right\|}=\left(-1\right)^s \frac{\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)}{\left\|\left(\vec{c''}_1+\vec{c''}_2\right)\right\|}</math>, и
			:<math>\alpha_{12}=\frac{\delta}{2}</math>.

Андрей Чусов в 10:30, 1 декабря 2018

2018-12-01T10:30:43Z

← Предыдущая		Версия 20:30, 1 декабря 2018
Строка 100:		Строка 100:
	[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|		[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|
	Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (''второй случай'').\|400px]]		Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (''второй случай'').\|400px]]
	Решение задачи объединения сводится к поиску ~~вектрра~~ <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и <math>\vec{c'}_2</math>), лежащего в плоскости <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, имеющего острый угол одновременно с <math>\vec{c}_1</math> и с <math>\vec{c}_2</math> и нормализованного.		Решение задачи объединения сводится к поиску вектора <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и <math>\vec{c'}_2</math>), лежащего в плоскости <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, имеющего острый угол одновременно с <math>\vec{c}_1</math> и с <math>\vec{c}_2</math> и нормализованного.

	Поскольку вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с <math>\vec{c}_{12}</math>, следующим образом.		Поскольку вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с <math>\vec{c}_{12}</math>, следующим образом.

Андрей Чусов в 08:41, 1 декабря 2018

2018-12-01T08:41:15Z

← Предыдущая		Версия 18:41, 1 декабря 2018
Строка 131:		Строка 131:
	Таким образом, во втором случае <math>\vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left\|\tau'\vec{c''}_{12}\right\|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left\|\vec{c''}_{12}\right\|}</math>,		Таким образом, во втором случае <math>\vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left\|\tau'\vec{c''}_{12}\right\|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left\|\vec{c''}_{12}\right\|}</math>,
	<math>\alpha_{12}=\frac{\pi}{2}</math>.		<math>\alpha_{12}=\frac{\pi}{2}</math>.

			В '''третьем случае''' предполагается, что <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, и <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>.

			Вследствие этого

Андрей Чусов в 08:35, 1 декабря 2018

2018-12-01T08:35:28Z

← Предыдущая		Версия 18:35, 1 декабря 2018
Строка 1:		Строка 1:
	Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t\|encompassing_aperture_t]] - <math>\Omega_1=\left\langle\vec{c}_1, \alpha_1\right\rangle</math> и <math>\Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle</math>, где <math>\vec{c}_i</math> - вектор направления на центральную точку <math>i</math>-го сектора (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::central_point\|encompassing_aperture_t::central_point]]), а <math>\alpha_i</math> - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::radius\|encompassing_aperture_t::radius]]).		Пусть объединяются два сектора сферы, релизуемые классом классом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t\|encompassing_aperture_t]] - <math>\Omega_1=\left\langle\vec{c}_1, \alpha_1\right\rangle</math> и <math>\Omega_2=\left\langle\vec{c}_2, \alpha_2\right\rangle</math>, где <math>\vec{c}_i</math> - вектор направления на центральную точку <math>i</math>-го сектора (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::central_point\|encompassing_aperture_t::central_point]]), а <math>\alpha_i\in\left[0;\pi\right]</math> - соответствующий ангулярный радиус (возвращаемый методом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t::radius\|encompassing_aperture_t::radius]]). Сектор, у которого ангулярный радиус равен <math>\pi</math> охватывает сферу полностью независимо от вектора <math>\vec{c}_i</math>.
	[[Файл:encompassing_aperture_t.svg\|thumb\|Сектор [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t\|encompassing_aperture_t]]\|400px]]		[[Файл:encompassing_aperture_t.svg\|thumb\|Сектор [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t\|encompassing_aperture_t]]\|400px]]

Строка 80:		Строка 80:
	Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).		Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).

	~~Вследствие того, что~~ <math>\~~vec~~{c'}~~_1\\|\vec~~{c'}_2</math>,		'''Лемма'''
	:<math>0<\alpha_1,\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math> и		:<math>0\le\alpha_1,\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math>.
	:<math>0<\~~alpha_1+~~\alpha_2<\pi</math>.
			Действительно, допустим <math>\alpha_1\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi-\gamma-\alpha_2\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{\pi}{2}\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\Omega_2\subseteq\Omega_1</math>.

			''Противоречие'' ограничению, приведенному выше.

			Аналогично доказывается ограничение <math>0\le\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math>.

	~~Действительно, если бы~~ <math>\alpha_1~~\equiv 0\Rightarrow\alpha_2=\pi-\alpha_1=\pi\Rightarrow\Omega_1\subset\Omega_2~~</math>~~, что противоречило бы ограничению~~ <math>\~~Omega_1\nsubseteq\Omega_2~~</math>~~, которое обосновано~~ выше.		'''Лемма'''
			<math>\alpha_1</math> и <math>\alpha_2</math> не могут быть одновременно равны нулю. Иначе имел бы место случай 1 выше.

	~~Далее,~~ <math>\alpha_1~~\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\pi-\gamma-~~\alpha_2~~\ge\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{~~\pi~~}{2}\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\ge\gamma+\alpha_2\Rightarrow\Omega_2\subseteq\Omega_1~~</math>~~. ''Противоречие'' ограничению, приведенному выше~~.		'''Следствие'''
			:<math>0<\alpha_1+\alpha_2<\pi</math>.

	~~Аналогично доказывается ограничение <math>0<\alpha_2<\frac{\pi}{2}</math>.~~

			Поскольку один из ангулярных радиусов обязательно ненулевой, примем ограничение <math>\alpha_1>0</math> (тогда <math>\alpha_2\ge 0</math>).

	[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|		[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|

Андрей Чусов в 08:04, 1 декабря 2018

2018-12-01T08:04:34Z

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Пусть далее <math>\cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left|\vec{c}_1\right|\cdot\left|\vec{c}_2\right|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>.
 Существует три случая.
@@ Строка 69: / Строка 79: @@
 Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).
 [[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg|thumb|

Андрей Чусов в 07:14, 1 декабря 2018

2018-12-01T07:14:34Z

← Предыдущая		Версия 17:14, 1 декабря 2018
Строка 94:		Строка 94:
	\cos\alpha_1		\cos\alpha_1
	\end{pmatrix}</math>.		\end{pmatrix}</math>.

			Пусть <math>\tau'=\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}</math>, и <math>\vec{c''}_{12}=\tau'\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}
			\begin{pmatrix}
			\cos\alpha_2 \\
			\cos\alpha_1
			\end{pmatrix}</math>.

			Таким образом, во втором случае <math>\vec{c}_{12}=\frac{\tau'\vec{c''}_{12}}{\left\|\tau'\vec{c''}_{12}\right\|}=\frac{\vec{c''}_{12}}{\left\|\vec{c''}_{12}\right\|}</math>,
			<math>\alpha_{12}=\frac{\pi}{2}</math>.

Андрей Чусов в 06:57, 1 декабря 2018

2018-12-01T06:57:42Z

← Предыдущая		Версия 16:57, 1 декабря 2018
Строка 13:		Строка 13:
	Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.\|400px]]		Диаметральное сечение сферы, которому принадлежат вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>. Если <math>\vec{c'}_1\nparallel\vec{c'}_2</math>, то вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, задающий направление на центральную точку объединяющего сектора, будет являться нормализованной суммой векторов <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>, если <math>\alpha_{12}<\frac{\pi}{2}</math> и противоположен этой сумме, если <math>\alpha_{12}>\frac{\pi}{2}</math>.\|400px]]

	Пусть далее <math>\~~textrm{~~cos}\gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\left\|\vec{c}_2\right\|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>.		Пусть далее <math>\cos \gamma=\frac{\vec{c}_1\cdot\vec{c}_2}{\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\left\|\vec{c}_2\right\|}</math>, где <math>\gamma</math> - угол между <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>.

	Существует три случая.		Существует три случая.

	[[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg\|thumb\|		[[Файл:encompassing_aperture_t_c1_par_c2.svg\|thumb\|
	Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\\|\vec{c}_2</math>.\|400px]]		Объединение секторов, у которых <math>\vec{c}_1\\|\vec{c}_2</math> (''первый случай'').\|400px]]

	Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\~~textrm{~~cos}\gamma\equiv-1</math>). Поскольку длины всех векторов равны единице, <math>\vec{c}_2=-\vec{c}_1</math>, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math>, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать ''выбранные'' <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через <math>\vec{c}_1</math>.		Рассмотрим '''первый случай''', когда <math>\vec{c}_1\\|\vec{c}_2</math> (то есть <math>\cos \gamma\equiv-1</math>). Поскольку длины всех векторов равны единице, <math>\vec{c}_2=-\vec{c}_1</math>, а количество плоскостей, которым одновременно могут принадлежать <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> бесконечно, вследствие чего количество возможных секторов минимальной площади, объединяющих <math>\Omega_1</math> и <math>\Omega_2</math>, также бесконечно и зависит от того на какой из плоскостей будут принадлежать ''выбранные'' <math>\vec{c'}_1</math> и <math>\vec{c'}_2</math>; и этот выбор будет сводится к выбору диаметральной плоскости, проходящей через <math>\vec{c}_1</math>.

	Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>.		Этот выбор можно сделать, если задать произвольный вектор <math>\vec{c}_n</math>, перпендикулярный <math>\vec{c}_1</math>.
Строка 34:		Строка 34:
	Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты		Для нахождения вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> достаточно выразить его в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_n\right\rangle</math> и осуществить переход к мировой системе координат входной модели. Как видно из рисунка, в указанном базисе вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> имеет координаты
	:<math>\begin{pmatrix}		:<math>\begin{pmatrix}
	\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\		\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
	\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\~~textrm{~~sin}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)		\left\|\vec{c}_1\right\|\cdot\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
	\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}		\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
	\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\		\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right) \\
	\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\~~textrm{~~sin}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)		\cos \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha_1 + \beta\right)\right)
	\end{pmatrix}</math>,		\end{pmatrix}</math>,

Строка 46:		Строка 46:
	:<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}		:<math>\vec{c'}_{12}=\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\		\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right) \\
	\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\~~textrm{~~sin}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right)		\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}\right)
	\end{pmatrix} = \~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}		\end{pmatrix} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	-\~~textrm{~~sin}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\		-\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
	\~~textrm{~~cos}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}		\cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
	\end{pmatrix}</math>.		\end{pmatrix}</math>.

	Пусть <math>\tau=-\~~textrm{~~cos}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)</math> и <math>\vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}		Пусть <math>\tau=-\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}\right)</math> и <math>\vec{c''}_{12} = \begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_n\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	\~~textrm{~~sin}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\		\sin \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2} \\
	\~~textrm{~~cos}\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}		\cos \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{2}
	\end{pmatrix}</math>.		\end{pmatrix}</math>.

Строка 71:		Строка 71:

	[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|		[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|
	Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math>.\|400px]]		Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (''второй случай'').\|400px]]
	Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и c'2), лежащего в плоскости c1 и c2, имеющего острый угол одновременно с c1 и с c2 и ~~нормализовонноно~~.		Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и <math>\vec{c'}_2</math>), лежащего в плоскости <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math>, имеющего острый угол одновременно с <math>\vec{c}_1</math> и с <math>\vec{c}_2</math> и нормализованного.

	Поскольку вектора c1 и c2 линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с ~~c12'~~, следующим образом.		Поскольку вектора <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с <math>\vec{c}_{12}</math>, следующим образом.

			Опустим перпендикуляр от конца одного из векторов, например <math>\vec{c}_1</math>, на вектор <math>\vec{c}_{12}</math>, перперндикулярный <math>\vec{c'}_1</math> и образующий острый угол с <math>\vec{c}_1</math>. Обозначим вектор, связанный с направленным отрезком, который исходит от центра сферы к точке пересечения <math>\vec{c}_{12}</math> и проведенного перпендикуляра, как <math>\vec{c'}_{12}</math>. Такой вектор очевидно будет сонаправлен с <math>\vec{c}_{12}</math>, а его длина будет равна
			:<math>\left\|\vec{c'}_{12}\right\|=\left\|\vec{c}_1\right\|\sin \alpha_1=\sin \alpha_1</math>;
			:<math>\vec{c}_{12} = \tau\vec{c'}_{12}</math>.

			Обозначим как <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}</math> и <math>\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}</math> соответственно проекции вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> на <math>\vec{c}_1</math> и <math>\vec{c}_2</math> а равно координаты вектора <math>\vec{c'}_{12}</math> в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math>. Из теоремы синусов следует, что
			:<math>\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\left\|\vec{c'}_{12}\right\|}=
			\frac{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\sin \alpha_1}=
			\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_2\right)}{\left\|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right\|}=
			\frac{\cos \alpha_2}{\left\|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,x}\right\|}=
			\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha_1\right)}{\left\|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right\|}=
			\frac{\cos \alpha_1}{\left\|\vec{c'}_{12,\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle,y}\right\|}</math>.

			Тогда в базисе <math>\left\langle\vec{c}_1,\vec{c}_2\right\rangle</math> вектор <math>\vec{c'}_{12}</math> будет равен:
			:<math>\vec{c'}_{12}=\frac{\sin \alpha_1}{\sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}\begin{pmatrix}\vec{c}_1 & \vec{c}_2\end{pmatrix}
			\begin{pmatrix}
			\cos\alpha_2 \\
			\cos\alpha_1
			\end{pmatrix}</math>.

Андрей Чусов в 05:41, 1 декабря 2018

2018-12-01T05:41:00Z

← Предыдущая		Версия 15:41, 1 декабря 2018
Строка 72:		Строка 72:
	[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|		[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|
	Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math>.\|400px]]		Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math>.\|400px]]
			Решение задачи объединения сводится к поиску вектрра <math>\vec{c}_{12}</math>, перпендикулярного <math>\vec{c'}_1</math> (и c'2), лежащего в плоскости c1 и c2, имеющего острый угол одновременно с c1 и с c2 и нормализовонноно.

			Поскольку вектора c1 и c2 линейно-независимы, их можно использовать в качестве базиса для поиска вектора, сонаправленного с c12', следующим образом.

Андрей Чусов в 10:32, 30 ноября 2018

2018-11-30T10:32:19Z

← Предыдущая		Версия 20:32, 30 ноября 2018
Строка 69:		Строка 69:

	Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).		Во '''втором случае''' <math>\vec{c}_1\nparallel\vec{c}_2</math>, однако <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math> (то есть <math>\alpha_1 + \gamma + \alpha_2 \equiv \pi</math>).

			[[Файл:encompassing_aperture_t_c1s_par_c2s.svg\|thumb\|
			Объединение секторов, у которых <math>\vec{c'}_1\\|\vec{c'}_2</math>.\|400px]]

Андрей Чусов в 01:48, 30 ноября 2018

2018-11-30T01:48:41Z

← Предыдущая		Версия 11:48, 30 ноября 2018
Строка 27:		Строка 27:
	:<math>\vec{c}_n=\left[\begin{matrix}		:<math>\vec{c}_n=\left[\begin{matrix}
	\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\equiv 0 \\		\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\equiv 0 \\
	\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\ne 0		\frac{\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T}{\left\|\begin{pmatrix}-\frac{\vec{c}_{1y}}{\vec{c}_{1x}} & 1 & 0\end{pmatrix}^T\right\|}\Leftrightarrow \vec{c}_{1x}\ne 0
	\end{matrix}\right.</math>.		\end{matrix}\right.</math>.