Андрей Чусов в 15:50, 2 декабря 2018

2018-12-02T15:50:06Z

← Предыдущая		Версия 01:50, 3 декабря 2018
Строка 4:		Строка 4:

	Фактически, это означает, что все углы, образованные всеми возможными парами отрезков от <math>P</math> до <math>\forall\vec{v}_i\in V</math> должны быть меньше <math>\pi</math>. Это имеет место, когда <math>V</math> образовано, например, вершинами одной отражающей поверхности [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/ReflectingObject\|ReflectingObject]] или контрольными точками одной плоскости вывода результатов [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/PlainControlPointSet\|PlainControlPointSet]]. См. также [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/Source::OptimizeRadiationVectors\|Source::OptimizeRadiationVectors]].		Фактически, это означает, что все углы, образованные всеми возможными парами отрезков от <math>P</math> до <math>\forall\vec{v}_i\in V</math> должны быть меньше <math>\pi</math>. Это имеет место, когда <math>V</math> образовано, например, вершинами одной отражающей поверхности [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/ReflectingObject\|ReflectingObject]] или контрольными точками одной плоскости вывода результатов [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/PlainControlPointSet\|PlainControlPointSet]]. См. также [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/Source::OptimizeRadiationVectors\|Source::OptimizeRadiationVectors]].

			[[Файл:EncompassingAperture-algo bisector triangle.svg\|thumb\|Поиск центральной точки сферы и ангулярного радиуса при конструировании объекта [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t\|encompassing_aperture_t]] на основе позиции точки <math>\vec{P}</math>, вокруг которой строится сфера, и двух точек, которые ограничивают площадь сектора. Вектора <math>\vec{v}_1</math> и <math>\vec{v}_2</math> на рисунке соответствуют векторам <math>\vec{v'}_i</math> и <math>\vec{v'}_j</math> в статье.\|500px]]

	Если <math>\left\|V\right\|\equiv 1</math>, то <math>\Omega=\left\langle\frac{\vec{v}_0-\vec{P}}{\left\|\vec{v}_0-\vec{P}\right\|}, 0\right\rangle</math>. Далее по тексту <math>\left\|V\right\|\ge 2</math>.		Если <math>\left\|V\right\|\equiv 1</math>, то <math>\Omega=\left\langle\frac{\vec{v}_0-\vec{P}}{\left\|\vec{v}_0-\vec{P}\right\|}, 0\right\rangle</math>. Далее по тексту <math>\left\|V\right\|\ge 2</math>.

Андрей Чусов: Новая страница: «Пусть $V=\begin{pmatrix}\vec{v}_0, \cdots, \vec{v}_{n-1}\end{pmatrix}$ - непустое входное множество геометричес…»

2018-12-02T15:39:42Z

Новая страница: «Пусть <math>V=\begin{pmatrix}\vec{v}_0, \cdots, \vec{v}_{n-1}\end{pmatrix}</math> - непустое входное множество геометричес…»

Новая страница

Пусть <math>V=\begin{pmatrix}\vec{v}_0, \cdots, \vec{v}_{n-1}\end{pmatrix}</math> - непустое входное множество геометрических точек, и <math>\vec{P}</math> - некоторая заданная точка, вокруг которой требуется построить сектор <math>\Omega=\left\langle\vec{c}, \alpha\right\rangle</math> сферы с единичным радиусом, где <math>\vec{c}</math> - вектор, ассоциированный с направленным отрезком от <math>\vec{P}</math> до центральной точки сектора на поверхности сферы, и <math>\alpha</math> - ангулярный радиус сектора, как это реализуется классом [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/encompassing_aperture_t|encompassing_aperture_t]]. Проекции всех точек из <math>V</math> на сферу должны принадлежать <math>\Omega</math>.

Пусть также все точки из <math>V</math> лежат по одну сторону от <math>P</math>, т.е. <math>P</math> не находится геометрически в облаке, образованном <math>V</math>. Если это не так, то множество <math>V</math> должно быть разбито на подмножества точек, лежащих по одну сторону от <math>P</math>, а затем сектора, образованные применением описываемого алгоритма над <math>P</math> и подмножествами, должны быть объединены с помощью функции [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/unify|unify]].

Фактически, это означает, что все углы, образованные всеми возможными парами отрезков от <math>P</math> до <math>\forall\vec{v}_i\in V</math> должны быть меньше <math>\pi</math>. Это имеет место, когда <math>V</math> образовано, например, вершинами одной отражающей поверхности [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/ReflectingObject|ReflectingObject]] или контрольными точками одной плоскости вывода результатов [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/PlainControlPointSet|PlainControlPointSet]]. См. также [[Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/Source::OptimizeRadiationVectors|Source::OptimizeRadiationVectors]].

Если <math>\left|V\right|\equiv 1</math>, то <math>\Omega=\left\langle\frac{\vec{v}_0-\vec{P}}{\left|\vec{v}_0-\vec{P}\right|}, 0\right\rangle</math>. Далее по тексту <math>\left|V\right|\ge 2</math>.

Создадим множество <math>V' = \bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\left(\vec{v}_i-\vec{P}\right)</math> и выберем пару <math>\vec{v'}_i,\vec{v'}_j\in V'</math> тех точек, отрезки из <math>\vec{P}</math> до которых образуют между собой наибольший угол <math>2\alpha</math>.

Если угол равен нулю, то <math>\Omega=\left\langle\frac{\vec{v'}_i}{\left|\vec{v'}_i\right|}, 0\right\rangle</math>.

Поэтому далее по тексту рассматривается оставшийся случай, когда <math>\left|V\right|\ge 2</math>, <math>0<2\alpha<\pi</math> и <math>0<\alpha<\frac{\pi}{2}</math>.

Тогда задача нахождения <math>\Omega</math> будет сводиться к нахождению биссектрисы между <math>\vec{v'}_i</math> и <math>\vec{v'}_j</math>, лежащий на ней вектор <math>\vec{c}</math> единичной длины и угол <math>\alpha = \frac{1}{2}\arccos\frac{\vec{v'}_i\cdot\vec{v'}_j}{\left|\vec{v'}_i\right|\cdot\left|\vec{v'}_j\right|}</math>.

Для нахождения вектора <math>\vec{c}</math> соединим прямой точки <math>\vec{v'}_i</math> и <math>\vec{v'}_j</math> и обозначим как <math>\tau\vec{c}</math> вектор, с которым ассоциирован направленный отрезок, имеющий начало в точке <math>\vec{P}</math>, направленный вдоль биссектриссы между <math>\vec{v'}_i</math> и <math>\vec{v'}_j</math> до точки пересечения с прямой. Обозначим как <math>\vec{v}_c</math> вектор, с которым ассоциирован направленный отрезок с началом в конце отрезка <math>\vec{v'}_i</math> и концом в точке пересечения. То есть
:<math>\vec{c}=\vec{v}_i+\vec{v}_c</math>.

Согласно [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%B1%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B5 теореме о биссектрисе] эта точка делит отрезок между <math>\vec{v'}_i</math> и <math>\vec{v'}_j</math> в пропорции, равной отношению длин <math>\left|\vec{v'}_i\right|</math> и <math>\left|\vec{v'}_j\right|</math>. Поэтому
:<math>\vec{v}_c=\left|\vec{v}_c\right|\frac{\vec{v'}_j-\vec{v'}_i}{\left|\vec{v'}_j-\vec{v'}_i\right|}</math>;
:<math>\frac{\left|\vec{v}_c\right|}{\left|\vec{v'}_j-\vec{v'}_i\right|-\left|\vec{v}_c\right|}=\frac{\left|\vec{v}_i\right|}{\left|\vec{v}_j\right|}\Rightarrow\vec{v}_c=\frac{\left|\vec{v}_i\right|\cdot\left|\vec{v}_j-\vec{v}_i\right|}{\left|\vec{v}_i\right| + \left|\vec{v}_j\right|}</math>.

Поэтому
:<math>\tau\vec{c}=\frac{1}{\left|\vec{v}_i\right|\cdot\left|\vec{v}_j\right|}\left(\left|\vec{v}_j\right|\vec{v}_i+\left|\vec{v}_i\right|\vec{v}_j\right)</math>.

Пусть <math>\tau'=\frac{\tau}{\left|\vec{v}_i\right|\cdot\left|\vec{v}_j\right|}</math> и
:<math>\vec{c'}=\begin{pmatrix}\vec{v}_i & \vec{v}_j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\left|\vec{v}_j\right| \\ \left|\vec{v}_i\right|\end{pmatrix}</math>.

Тогда <math>\vec{c}=\frac{\tau'\vec{c'}}{\tau'\left|\vec{c'}\right|}=\frac{\vec{c'}}{\left|\vec{c'}\right|}</math> и <math>\alpha = \frac{1}{2}\arccos\frac{\vec{v'}_i\cdot\vec{v'}_j}{\left|\vec{v'}_i\right|\cdot\left|\vec{v'}_j\right|}</math>.

Шаблон:Распространение радиоволн ВЧ/Реализация/EncompassingAperture/Алгоритм - История изменений

Андрей Чусов в 15:50, 2 декабря 2018

Андрей Чусов: Новая страница: «Пусть V=\begin{pmatrix}\vec{v}_0, \cdots, \vec{v}_{n-1}\end{pmatrix} - непустое входное множество геометричес…»

Андрей Чусов: Новая страница: «Пусть $V=\begin{pmatrix}\vec{v}_0, \cdots, \vec{v}_{n-1}\end{pmatrix}$ - непустое входное множество геометричес…»